Exponentielle – Coûts, dérivée, inéquations, variation – Terminale ES

novembre 26th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Terminale ES

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Exercice N°331 :

On s’intéresse à la production mensuelle d’une certaine catégorie d’articles pour une entreprise. On sait que le nombre d’articles produits par mois est compris entre 0 et 500. On suppose que le coût total, exprimé en milliers d’euros, peut être modélisé par la fonction CT définie sur l’intervalle [0 ; 5]
par CT(x) = 2x² + xe-2x + 3, où x est exprimé en centaines d’articles.

1) Déterminer la fonction coût marginal Cm, c’est-à-dire la fonction dérivée de la fonction coût total CT.

2) Calculer le coût marginal pour la fabrication de 150 articles.

La fonction coût moyen, notée CM est la fonction définie sur ]0 ; 5] par CM(x) = CT(x)/x.

3) Donner une expression de CM(x) en fonction de x.

4) Déterminer C’M(x) où C’M désigne la fonction dérivée de CM.

5) Résoudre dans ℝ l’équation 1 – e-2x + 3 = 0.

6) Résoudre dans ℝ l’équation 1 – e-2x + 3 > 0.

7) En déduire le sens de variation de CM sur ]0 ; 5[.

8) Pour quelle production q l’entreprise a-t-elle un coût moyen minimal et quel est ce coût ?

Chaque centaine d’articles est vendue 7000 €. La recette totale pour x centaines d’articles est donnée, en admettant que toute la production soit vendue, par R(x) = 7x en milliers d’euros.
Le bénéfice est donc défini par B(x) = R(x) − CT(x).

Ci-dessous sont représentées les fonctions CT et R.

exo331_a

Par lecture graphique déterminer :

9) l’intervalle sur lequel le rendement marginal est croissant (ce qui signifie que le coût marginal est décroissant),

10) le coût moyen minimal,

11) l’intervalle dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice positif de l’entreprise E,

12) la production x0 pour laquelle le bénéfice est maximal. On fera apparaître les constructions nécessaires.

13) Avec l’aide de votre calculatrice, affiner l’intervalle (à un article près) dans lequel doit se situer la production x pour qu’il y ait un bénéfice positif de l’entreprise E.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Statistiques – Tableau, moyenne, écart-type, pourcentage – Première ES

Recherches utilisées pour trouver cet articleon s interesse à la production mensuelle d une certaine catégorie d articles

4 commentaires

  • Camille B. dit :

    bonsoir,
    j’ai réussis à faire la plupart des calculs, je pense … mais je bloque pour la question 9) avec le rendement marginal croissant. Je ne sais pas ce que c’est en fait, et les résultats sur internet me paraissent incompréhensible.
    Merci d’avance.
    Camille.

    • Sylvain dit :

      Bonsoir,

      le rendement marginal est le contraire du coût marginal d’après la question. Il faut que le coût marginal soit décroissant.
      Or, le coût marginal est la dérivée du coût total CT.

      Il faut donc dériver CT pour obtenir le coût marginal Cm (et non CM). Ensuite, pour obtenir les variations de Cm, je suggère de faire un tableau de signe de la dérivée de Cm égale à Cm’.

      Signe de Cm'(x)
      Variation de Cm

      Est-ce que ça va ?

  • Lena dit :

    Bonjour, je bloque à la question 3, je trouve 2x+exp-2x+3
    Pourrais-tu m’aider ?

    • Sylvain Jeuland dit :

      3) Bonjour, c’est bien ça.
      CT(x)/x = (2x² + xe-2x+3)/x
      = 2x²/x + x/x * e-2x+3
      = 2x + e-2x+3
      Attention le coût moyen n’est pas le coût marginal ! :)


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