Exponentielle – Equation, continuité, suite, récurrence – Terminale S

octobre 16th, 2013

Category: Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Suites, Terminale S

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Exercice N°284 :

Le but de l’exercice est de démontrer que l’équation (E) ∶ xex = 1 admet une unique solution dans l’ensemble ℝ des nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution.

Existence et unicité de la solution :
On note f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x − e-x.
1) Démontrer que x est solution de l’équation (E) si et seulement si f(x) = 0.

2) Étudier le sens de variation de la fonction f sur ℝ.

3) En déduire que l’équation (E) possède une unique solution sur ℝ, notée α.

4) Justifier que α appartient à l’intervalle [1/2 ; 1].

5) Étudier le signe de f sur l’intervalle [0 ; α].

Deuxième approche :
On note g la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1]
par g(x) = (1 + x)/(1 + ex).

6) Démontrer que l’équation f(x) = 0 est équivalente à l’équation g(x) = x.

7) En déduire que α est l’unique réel vérifiant g(x) = x.

8) Calculer g'(x) et en déduire que la fonction g est croissante sur [0 ; α].

Construction d’une suite de réels ayant pour limite α :
On considère la suite (un)n∈ℕ définie par u0 = 0 et,
pour tout entier naturel n, un+1 = g(un).

9) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n :
0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α

10) En déduire que la suite (un) est convergente. On note l sa limite.

11) Justifier l’égalité g(l) = l et en déduire la valeur de l.

12) A l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée de u4 arrondie à la sixième décimale.

Bon courage,
Sylvain

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