Exponentielle – Equations, variation, TVI, primitive – Terminale ES

novembre 26th, 2013

Category: Dérivées et Intégrales, Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°335 :

Soit f la fonction définie sur [0 ; 5] par
f(x) = (ax + b)e−x
où a et b sont deux réels.
On note f’ la fonction dérivée de f.

1) Montrer que pour tout nombre réel x,
f'(x) = (a − b − ax)e−x.

2) On donne f(0) = 1 et f'(0) = 3. En déduire a et b.

On admettra dès maintenant que a = 4 et b = 1.
Donc, pour tout réel x ∈ [0 ; 5],
f(x) = (4x + 1)e−x.

3) Étudier les variations de f sur [0 ; 5] et dresser le tableau de variation de f.

4) Montrer que l’équation f(x) = 1 admet une solution unique sur
[1 ; 5] et en donner une valeur approchée par excès au centième près.

Une entreprise produit x centaines d’objets chaque semaine.
Le coût de production, exprimé en milliers d’euros, est défini sur l’intervalle [0 ; 5] par la fonction f étudiée au-dessus.

5) Quel est le coût de production maximal hebdomadaire ? On arrondira le résultat à l’euro près.

6) Déterminer la quantité d’objets à produire à partir de laquelle le coût de production hebdomadaire est inférieur à 1000 euros.

7) Démontrer que la fonction F définie sur [0 ; 5] par
F(x) = (−4x − 5)e−x
est une primitive de la fonction f sur ce même intervalle.

Bon courage,
Sylvain

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