Exponentielle – Fonction, algorithme, polynôme – Terminale S

octobre 15th, 2013

Category: Algorithmique, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Terminale S

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Exercice N°279 :

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = e−x + x.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

1) Calculer les limites de f en +∞ et −∞. Au voisinage de −∞, on pourra démontrer que f(x) = e−x (1 + xex).

2) Étudier les variations de la fonction f. On dressera le tableau de variations de la fonction f.
Justifier soigneusement le signe de la fonction dérivée sur ℝ.

3) Prouver que l’équation f(x) = 2 admet exactement deux solutions dans ℝ. Donner un encadrement à 10−2 près de la solution positive.

4) Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative C de f au point d’abscisse 1.

5) Calculer limx->+∞(f(x) − x).
On dira que la droite Δ d’équation y = x est asymptote oblique à C au voisinage de +∞.

6) Étudier la position relative de C par rapport à Δ.

7) Déterminer la valeur affichée par l’algorithme ci-dessous.

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Questions indépendantes à l’exercice :

Soit P le polynôme défini par P(x) = x3 + 2x² − x − 2.

8) Montrer que P(x) = (x − 1)(x² + 3x + 2), pour tout réel x.

9) Résoudre l’équation P(x) = 0 dans ℝ.

10) En déduire les solutions dans ℝ de l’équation
e3x + 2e2x − ex − 2 = 0.

Bon courage,
Sylvain

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