Exponentielle – Fonction, continuité, signe, variation – Terminale S

octobre 15th, 2013

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°281 :

Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)= x²ex−1/2.

Conjectures à partir d’un graphique :

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative C de f telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthogonal.

exo281_a

A l’observation de cette courbe, conjecturer :
1) le sens de variation de f ;

2) la position de C par rapport à l’axe des abscisses.

Étude d’une fonction auxiliaire g

Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x)=(x + 2)ex − 1 − 1.

3) Étudier les limites de g en +∞ et en −∞ (en justifiant soigneusement).

4) Montrer que g'(x)=(x + 3)ex−1 puis faire l’étude de son signe.

5) Dresser le tableau de variation de g. Faire apparaître les limites obtenues.

6) Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution unique dans ℝ. On notera α cette solution. Montrer que 0,20 < α < 0,21.

7) Déduire des questions précédentes le signe de g(x) suivant les valeurs de x.


Étude de la fonction f


8) Calculer f'(x) pour tout réel x, et montrer que f'(x)= xg(x).


9) En déduire le signe de f'(x) et dresser le tableau de variation de la fonction f.

Que pensez-vous de votre conjecture faite dans la première question ?


10) Sachant que g(α) = 0, démontrer que f(α)= −α3/2(α+2).


11) Déterminer le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 et donner une
valeur approchée ou exacte de la ou les solutions.
Que pensez-vous de votre deuxième conjecture sur la position de C par rapport à l’axe des abscisses ?


12) Proposer un réglage judicieux de la fenêtre graphique de la calculatrice qui permettra de visualiser les résultats précédents.


Bon courage,
Sylvain

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