Exponentielle – Fonction, dérivée, factorisation – Terminale ES

novembre 26th, 2013

Category: Exponentielle et Logarithme, Factorisation et Développement, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°341 :

On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = 2ex – e2x.

1) Calculer la dérivée f’ de f.

2) Montrer que pour tout réel x, f'(x) = 2ex(1 – ex).

3) En déduire les variations de la fonction f sur ℝ.

4) Justifier que pour tout réel x, f(x) ≤ 1.

On considère la fonction g définie sur ℝ par g(x) = 3ex – e3x.

5) Calculer la dérivée g’ de g.

6) Montrer que pour tout réel x, g'(x) = 3ex(1 – e2x).

7) En déduire les variations de la fonction g sur ℝ.

8) Justifier que pour tout réel x, g(x) ≤ 2.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, variations, application – Terminale ES

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2 commentaires

  • Fanny Morel dit :

    bonsoir, auriez vous la correction de cet exercice?

    • Sylvain Jeuland dit :

      1) Tout d’abord, la dérivée de ex est ex.
      Ensuite, la dérivée de eu(x) est u'(x)*eu(x).
      Cela veut dire qu’on dérive ce qu’il y a en haut de l’exponentielle puis on la place devant en “multipliée”.

      La dérivée de 2x est 2, donc, dans le cas de e2x, cela se dérivera en 2*e2x.

      Du coup, f'(x) = 2ex – 2*e2x.

      2) On doit partir de notre forme développée (avec un “moins” au milieu) vers une forme factorisée avec un produit de facteurs 2, e2x et la parenthèse.

      Tout d’abord, tu dois savoir que e2x = (ex)2.

      Pour prouver une égalité, tu dois partir d’un côté du “égal” et arriver à l’autre membre. Ici, je te suggère de partir de la droite puis de développer :
      2*ex(1 – ex)
      = 2*ex * 1 – 2*ex * ex
      = 2*ex – 2*(ex)2.
      = 2*ex – 2*e2x
      = f'(x) d’après les données (ta dérivée).
      Du coup, on a bien f'(x) = 2*ex(1 – ex).

      3) Pour obtenir les variations de la fonction f sur ℝ, tu dois étudier le signe de f'(x). Pour cela, utilise la forme factorisée et fais un tableau de signe avec chaque facteurs 2, ex et (1 – ex).

      A suivre …


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