Exponentielle – Fonction, dérivée, factorisation – Terminale ES

novembre 26th, 2013

Category: Exponentielle et Logarithme, Factorisation et Développement, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°341 :

On considère la fonction f définie sur R par
f(x) = 2ex – e2x.

1) Calculer la dérivée f’ de f.

2) Montrer que pour tout réel x,
f'(x) = 2ex(1 – ex).

3) En déduire les variations de la fonction f sur R.

4) Justifier que pour tout réel x, f(x) ≤ 1.

On considère la fonction g définie sur R par
g(x) = 3ex – e3x.

5) Calculer la dérivée g’ de g.

6) Montrer que pour tout réel x,
g'(x) = 3ex(1 – e2x).

7) En déduire les variations de la fonction g sur R.

8) Justifier que pour tout réel x, g(x) ≤ 2.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Exponentielle – Fonction, variations, application – Terminale ES

2 commentaires

  • Fanny Morel dit :

    bonsoir, auriez vous la correction de cet exercice?

    • Sylvain Jeuland dit :

      1) Tout d’abord, la dérivée de ex est ex.
      Ensuite, la dérivée de eu(x) est u'(x)*eu(x).
      Cela veut dire qu’on dérive ce qu’il y a en haut de l’exponentielle puis on la place devant en « multipliée ».

      La dérivée de 2x est 2, donc, dans le cas de e2x, cela se dérivera en 2*e2x.

      Du coup, f'(x) = 2ex – 2*e2x.

      2) On doit partir de notre forme développée (avec un « moins » au milieu) vers une forme factorisée avec un produit de facteurs 2, e2x et la parenthèse.

      Tout d’abord, tu dois savoir que e2x = (ex)2.

      Pour prouver une égalité, tu dois partir d’un côté du « égal » et arriver à l’autre membre. Ici, je te suggère de partir de la droite puis de développer :
      2*ex(1 – ex)
      = 2*ex * 1 – 2*ex * ex
      = 2*ex – 2*(ex)2.
      = 2*ex – 2*e2x
      = f'(x) d’après les données (ta dérivée).
      Du coup, on a bien f'(x) = 2*ex(1 – ex).

      3) Pour obtenir les variations de la fonction f sur ℝ, tu dois étudier le signe de f'(x). Pour cela, utilise la forme factorisée et fais un tableau de signe avec chaque facteurs 2, ex et (1 – ex).

      A suivre …


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