Exponentielle – Fonction, suite, courbe, tangente – Terminale S

octobre 15th, 2013

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°277 :

Pour tout entier n ≥ 1, on note fn la fonction définie sur ℝ
par fn(x) = xne-x.

Cn est la courbe représentative de fn dans un repère orthonormé. Sur la figure ci-dessous, on a tracé la courbe C3 ainsi qu’une courbe Ck pour un certain k ∈ ℕ* tel que la tangente Tk à Ck au point M d’abscisse 1 coupe l’axe des ordonnées en A de coordonnées (0 ; –4/e).

exo277_a

On cherche à déterminer la valeur de k.

1) Étudier les variations de f1 et dresser son tableau de variations.

2) A l’aide de la représentation graphique, justifier que k ≠ 1.

3) Démontrer que pour tout entier n ≥ 1, toutes les courbes Cn passent par deux points fixes dont on donnera les coordonnées.

4) Vérifier que pour tout entier n ≥ 2 et tout nombre x,
fn‘(x) = xn – 1(n – x)e-x.

5) Sur la figure, f3 semble admettre un maximum pour x = 3. Démontrer cette conjecture.

6) Démontrer que la tangente Tk en M à la courbe Ck coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; (2 – k)/e).

7) En déduire la valeur de k.

Bon courage,
Sylvain

Recherches utilisées pour trouver cet articlemontrer que pour tout k la tangente,courbe suite terminale,exponentielle k=e abscisse 1

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