Exponentielle – Fonction, suite, variation, somme – Terminale S

octobre 16th, 2013

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Suites, Terminale S

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Exercice N°282 :

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par :

f(x) = x/(ex−1).

On rappelle que la fonction exponentielle est l’unique fonction g dérivable sur ℝ vérifiant :
{ g'(x) = g(x) pour tout x∈ℝ et g(0) = 1

1) Démontrer que limh→0(eh − 1)/h = 1.

2) Déterminer la limite de la fonction f en 0.

3) Déterminer la limite de la fonction f en +∞.

4) Calculer f'(x), pour x ∈ ]0 ; +∞[.

Soit N la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
N(x) = ex − xex − 1.

5) Calculer N'(x) et en déduire les variations de N sur ]0 ; +∞[.

6) Calculer N(0) et en déduire que N est négative sur ]0 ; +∞[.

7) En déduire le tableau de variations de f.

Soit (un) la suite définie pour tout n entier supérieur ou égal à 1 par :
un = 1/n[ 1 + e1/n + e2/n + e3/n + … + e(n – 1)/n ].

8) Démontrer que
1 + e1/n + e2/n + e3/n + … + e(n – 1)/n = (1 – e)/(1 – e1/n).

9) Puis en déduire que un = (e−1)f(1/n).

10) En déduire en utilisant les première questions que la suite (un) converge vers e − 1.

Bon courage,
Sylvain

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