Exercice N°018 :

Dans cet exercice, chaque partie peut-être traitée indépendamment des autres.

On considère, dans tout l’exercice, la fonction f définie sur ℝ par f(x) = x² – 6x, et la fonction g définie sur ℝ par g(x) = – (x – 6)² +36. Leurs courbes représentatives respectives seront notées Cf et Cg.

Partie A : un peu d’algorithmique

On considère l’algorithme suivant :

1) Comment compléter l’algorithme précédent de sorte que si l’utilisateur entre une valeur x, l’algorithme affiche l’image de x par g.

2) Proposer un algorithme permettant de calculer et d’afficher l’image d’un nombre x par f.

Partie B : Etude graphique de la fonction f

On a tracé la courbe Cf . Pour chaque réponse vous devrez faire apparaître les traits de construction qui vous ont permis de répondre.

1) Déterminer graphiquement l’image de 3.

2) Donner les antécédents de 40 par f.

3) Donner un nombre qui n’a pas d’antécédent par f.

4) Donner le tableau de signes de la fonction f.

5) Donner le tableau de variations de f.

Partie C : Construction de la courbe représentative

On rappelle que pour tout x ∈ ℝ on a g(x) = – (x – 6)² + 36.

1) Compléter le tableau de valeurs suivant :

2) Tracer la droite Δ parallèle à l’axe des ordonnées et qui passe par le point de coordonnées (6 ; 0).

3) Sachant que Δ est axe de symétrie de la courbe Cg, construire Cg sur le graphique.

4) a) Résoudre graphiquement l’équation f(x) = g(x).
b) Résoudre l’inéquation f(x) > g(x).

Partie D :

1) On veut résoudre par le calcul l’équation f(x) = g(x).
a) Développer g(x).
b) Montrer que résoudre f(x) = g(x) revient à résoudre x² – 9x = 0.
c) Factoriser x² – 9x et résoudre f(x) = g(x).

2) On veut résoudre par le calcul l’équation g(x) = 20.
a) Montrer que résoudre g(x) = 20 revient à résoudre l’équation (x – 6)² – 4² = 0.
b) Factoriser (x – 6)² – 4² et résoudre g(x) = 20.

Bon courage,
Sylvain

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