Dérivation – Fonctions, boîte de berlingots pour Noël – Première S

novembre 27th, 2012

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Géométrie 2D/3D et Repérage, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°043 :

Un vendeur de berlingots veut faire fabriquer une nouvelle boîte de présentation pour Noël. Elle aura la forme d’un prisme droit dont deux des faces sont deux rectangles de 20cm de longueur sur 5cm de largeur.

Une section de ce prisme par un plan perpendiculaire  à la face BCDE est le triangle ABC isocèle en A. La longueur BC = x représente l’écartement entre les deux rectangles.

Le but du problème est de déterminer x tel que le volume de cette boîte soit le plus grand possible.

1) (a) Quelles sont les valeurs possibles pour x ?

(b) Exprimer l’aire du triangle ABC en fonction de x.

(c) Exprimer le volume du prisme V en fonction de x.

2) Soit la fonction f définie sur [0;10] par f(x) = x²(100-x²).

(a) Étudier le sens de variations de f.

(b) Pour quelles valeurs de x, f admet-elle un maximum ?

3) (a) Vérifier que V(x) = 5 * Racine( f(x) ).

(b) En utilisant les variations de f, déterminer les variations de la fonction V sur [0;10].

(c) En déduire les dimensions maximales de la boîte de berlingots ayant le plus grand volume et donner la valeur de ce volume maximal.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Dérivation – Fonctions, étude classique d’une fonction – Première S

5 commentaires

  • momo dit :

    Bonsoir je ne comprend pas la 1) b comment calculer l’aire du triangle abc en fonction de X merci

    • Sylvain dit :

      Alors, le triangle ABC est isocèle en A. Du coup, la hauteur issue de A tombe perpendiculairement sur le milieu de BC que l’on peut appeler H. On a donc BH = x/2 et HC = x/2.
      Il faut maintenant calculer la hauteur AH pour utiliser la formule de l’aire d’un triangle (Base*Hauteur)/2.

      Le triangle AHB est rectangle en H, donc, d’après le théorème de Pythagore, AH² + BH² = AB².
      Ce qui fait, en soustrayant chaque membre de l’égalité par BH² : AH² = AB² – BH² = 5² – (x/2)².
      La hauteur AH est donc la racine de cette dernière valeur et il est possible de calculer l’aire de ABC.

      As-tu tout saisi ?
      Sylvain

  • momo dit :

    Hum donc la nous avons la hauteur ? il faut donc calculer la base Donc X*la hauteur ?

  • momo dit :

    L’aire* pardon


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