Dérivation – Fonctions, étude classique d’une fonction – Première S

novembre 27th, 2012

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°042 :

On considère la fonction f définie sur R par :

f(x) = 2 – 2(1 – x)/(x2 + 1)

On note Cf sa courbe représentative.

1) Calculer f'(x).
Vérifier que f'(x) = -2(x2-2x-1)/(x2 + 1)2 .

2) Étudier le signe de f'(x) puis dresser le tableau de variations de f.
On ne demande pas les valeurs exactes des extremums mais une valeur arrondie aux centièmes.

3) Déterminer l’équation de la tangente T à Cf au point A d’abscisse 1.

*) On veut montrer qu’il existe un point B de Cf tel que la tangente à Cf en B soit parallèle à la droite Delta d’équation y = – x :

4) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation
x4 + 4x + 3 = 0.

5) Vérifier que x4 + 4x + 3 = (x + 1)2(x2 – 2x + 3).

6) Conclure sur ce qu’on veut montrer en *).

7) Construire la courbe Cf dans le repère ci-dessous ainsi que ses tangentes.

8) Résoudre f(x) = 0 et interpréter graphiquement.

9) Déterminer les coordonnées du point d’intersection entre Cf et la droite D d’équation
y = 2,
puis la position relative entre Cf et D. Tracer D.

10) Démontrer que la fonction f est minorée par -1 sur R,
c’est-à-dire que f(x) ≥ -1 pour tout x ∈ R.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Dérivation – Fonctions, production de mini-dinosaures – Première S

2 commentaires

  • ismerie dit :

    Bonjour,
    Je suis bloqué a la question 5, je n’arrive pas a résoudre f(x)=0. Je ne vois pas à dois nous amener la question !?

  • Sylvain dit :

    Il faut résoudre 2 – 2(1-x)/(x²+1) = 0 car f(x) = 2 – 2(1-x)/(x²+1).
    Du coup, il faut mettre les termes de cette différence au même dénominateur en multipliant 2 par (x²+1)/(x²+1).
    On obtient
    2(x²+1)/(x²+1) – 2(1-x)/(x²+1) = 0,
    [2(x²+1) – 2(1-x)]/(x²+1) = 0,
    [2x² + 2 – (2 – 2x)]/(x²+1) = 0,
    [2x² + 2 – 2 + 2x]/(x²+1) = 0,
    [2x² + 2x]/(x²+1) = 0.
    Une fraction est nulle si et seulement si sont numérateur est nulle.
    Soit [2x² + 2x] = 0.
    En factorisant la somme par x :
    x(2x + 2) = 0.
    Un produit de facteur est nul si et seulement si l’un de ses facteurs est nul.
    x = 0 ou 2x + 2 = 0,
    x = 0 ou 2x = -2,
    x =0 ou x = -1,
    S = {0 , -1}.

    Pour l’interprétation graphique, f(x) = 0 quand la courbe Cf coupe l’axe horizontal des abscisses. f(x) est l’ordonnée des points de la courbe dont l’abscisse vaut x.

    As-tu compris ?

    Désolé pour le délai, en ce moment c’est chaud car j’écris mon livre un maths de seconde.

    Sylvain


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