Exercice N°050 :

Méthode de cours

a) Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = 1 – x².

Montrer que f est dérivable en a = 2 et calculer f'(2).

b) Soit g la fonction définie sur ℝ par g(x) = 3/x.

Montrer que g est dérivable en a = 1 et calculer g'(1).

Ensembles et calculs

Dans chaque cas, déterminer sur quel ensemble la fonction est dérivable puis calculer sa dérivée.

a) f(x) = ( x  -4 )( 2x3 + 2)

b) f(x) = (3x + 5)/(x² + 1)

Mini-problème

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = (1/4)x4(3/2)x2 + 2x + 1.

a) Démontrer que pour tout x ∈ ℝ, x^3 – 3x + 2 = (x – 1)²(x + 2).
b) Calculer la dérivée de f(x).
c) Déterminer les variations de f sur ℝ puis dresser son tableau de variations.
d) Indiquer les extrémums locaux éventuels.
e) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 0 ?

Fonction rationnelle

Soit la fonction f définie sur ]3 ; +∞[ par : f (x) = (x² − 5)/(x − 3).

a) Déterminer la fonction dérivée de f.
b) Étudier les variations de f sur ]3 ; +∞[ puis dresser son tableau de variation.
c) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse 4.

Bon courage,
Sylvain

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2 commentaires

  • Océane Hamel dit :

    Bonjour,
    Est-ce qu’il serait possible d’avoir la correction des questions c) et d) du Mini-problème; et la question b)de la partie “Fonction rationnelle” ?

    • Sylvain dit :

      Bonsoir Océane,

      Mini-Problème :
      c) Lorsqu’on dérive f(X) dans b), on obtient f'(X) = X^3 – 3X + 2
      qui est égal à (X – 1)²(X + 2) d’après la question a).
      Pour avoir les variations de f, il faut avoir le signe de f'(X).
      Dans un tableau de signe on fait plusieurs lignes :
      La ligne des X avec -2 et 1.
      Signe de (X – 1)² avec + 0 + car un carré est toujours positif ou nul (nul pour 1).
      Signe de (X + 2) avec – 0 + car c’est une fonction affine, et a = 1 > 0.
      Signe de f'(X) avec – 0 + 0 +, avec la règle des signes, les 0 sont en dessous de -2 et 1.
      Variation de f avec Décroissant, Sommet et Croissant.

      d) Ne pas oublier l’ordonnée du sommet f(-2) = (1/4)(-2)^4 – (3/2)(-2)² + 2*(-2) + 1
      = 4 – 6 – 4 + 1 = -5. C’est l’extrémum local (-2 ; -5).

      Fonction rationnelle :
      b) La dérivée de a) f'(X) = (X² – 6X + 5)/(X – 3)².
      Pour étudier les variations de f, il faut étudier le signe de f'(X).
      Pour cela on fait un tableau de signes :
      La ligne des X : 1, 3 et 5
      Signe de X² – 6X + 5 : + 0 – 0 + (trinôme avec Delta positif, a > 0, et racines 1 5).
      Signe de (X – 3)² : + 0 + (carré toujours positif ou nul, 0 en dessous de 3).
      Signe du quotient : + 0 – || – 0 + (règle des signes, 0 et 0 sous 1 et 5, || sous le 3 car valeur interdite).
      Variation de f : Croissant, Extremum local f(1), Décroissant || Décroissant, Extremum local f(5), Croissant.

      As-tu tout compris ?
      Sylvain


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