Exercice N°050 :

Nombres dérivés

1) Soit f la fonction définie sur R par
f(x) = 1 – x2.

Montrer que f est dérivable en a = R et calculer f'(2).

2) Soit g la fonction définie sur R par
g(x) = 3/x.

Montrer que g est dérivable en a = 1 et calculer g'(1).

Ensembles et calculs

Dans chaque cas, déterminer sur quel ensemble la fonction est dérivable puis calculer sa dérivée.

3) h(x) = (x  – 4)(2x3 + 2),

4) k(x) = (3x + 5)/(x2 + 1).

Mini-problème

Soit l la fonction définie sur R par
l(x) = (1/4)x4 – (3/2)x2 + 2x + 1.

5) Démontrer que pour tout x ∈ R,
x3 – 3x + 2 = (x – 1)2(x + 2).

6) Calculer la dérivée de l(x).

7) Déterminer les variations de l sur R puis dresser son tableau de variations.

8) Indiquer les extrémums locaux éventuels.

9) Quelle est l’équation de la tangente à la courbe de l au point d’abscisse 0 ?

Fonction rationnelle

Soit la fonction f définie sur ]3 ; +∞[ par :
m(x) = (x2 − 5)/(x − 3).

10) Déterminer la fonction dérivée de m.

11) Étudier les variations de m sur ]3 ; +∞[ puis dresser son tableau de variation.

12) Déterminer l’équation de la tangente à la courbe de m au point d’abscisse 4.

Bon courage,
Sylvain

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2 commentaires

  • Océane Hamel dit :

    Bonjour,
    Est-ce qu’il serait possible d’avoir la correction des questions c) et d) du Mini-problème; et la question b)de la partie « Fonction rationnelle » ?

    • Sylvain dit :

      Bonsoir Océane,

      Mini-Problème :
      c) Lorsqu’on dérive f(X) dans b), on obtient f'(X) = X^3 – 3X + 2
      qui est égal à (X – 1)²(X + 2) d’après la question a).
      Pour avoir les variations de f, il faut avoir le signe de f'(X).
      Dans un tableau de signe on fait plusieurs lignes :
      La ligne des X avec -2 et 1.
      Signe de (X – 1)² avec + 0 + car un carré est toujours positif ou nul (nul pour 1).
      Signe de (X + 2) avec – 0 + car c’est une fonction affine, et a = 1 > 0.
      Signe de f'(X) avec – 0 + 0 +, avec la règle des signes, les 0 sont en dessous de -2 et 1.
      Variation de f avec Décroissant, Sommet et Croissant.

      d) Ne pas oublier l’ordonnée du sommet f(-2) = (1/4)(-2)^4 – (3/2)(-2)² + 2*(-2) + 1
      = 4 – 6 – 4 + 1 = -5. C’est l’extrémum local (-2 ; -5).

      Fonction rationnelle :
      b) La dérivée de a) f'(X) = (X² – 6X + 5)/(X – 3)².
      Pour étudier les variations de f, il faut étudier le signe de f'(X).
      Pour cela on fait un tableau de signes :
      La ligne des X : 1, 3 et 5
      Signe de X² – 6X + 5 : + 0 – 0 + (trinôme avec Delta positif, a > 0, et racines 1 5).
      Signe de (X – 3)² : + 0 + (carré toujours positif ou nul, 0 en dessous de 3).
      Signe du quotient : + 0 – || – 0 + (règle des signes, 0 et 0 sous 1 et 5, || sous le 3 car valeur interdite).
      Variation de f : Croissant, Extremum local f(1), Décroissant || Décroissant, Extremum local f(5), Croissant.

      As-tu tout compris ?
      Sylvain


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