Dérivation – Fonctions, toboggan, coordonnées et pentes – Première S

décembre 14th, 2012

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

Tagged with: , , , , , , , , ,

Exercice N°051 :

Une entreprise souhaite fabriquer pour de jeunes enfants des toboggans dont le profil a l’allure de la courbe ci-dessous. L’objet de l’exercice est de modéliser ce profil à l’aide de la courbe représentative C d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ;  3] vérifiant les conditions suivantes :

exo051_a

(1) La courbe C passe par les points A(0 ; 2) et B (3 ; 0).

(2) La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Le bureau d’étude pense que l’on peut modéliser le profil du toboggan à l’aide d’une fonction polynôme de degré 3 :
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
avec a, b, c et d 4 réels.

1) Démontrer que les valeurs f(0) et f ‘(0) permettent d’obtenir 
c = 0 et d = 2.

2) Trouver alors a et b grâce aux valeurs de f(3) et f ‘(3).

3) Déterminer les coordonnées du point de la courbe de f d’abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point.

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Dérivation – Fonctions, méthodes et calculs classiques – Première S

1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    Corrigé :

    1) On voit sur le graphique que f(0) = 2.
    On peut remplacer X par 0 dans la fonction. Et cela donnera 2.
    f(0) = a*0^3 + b*0² + c*0 + d = 2 soit d = 2.

    La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0 (car parallèle à l’axe des abscisses), sa pente est donc de 0, donc f'(0) = 0.
    La dérivée de aX^3 + bX² + cX + 2 est f'(X) = 3aX² + 2bX + c.
    Du coup, f ‘(0) = 3a*0² + 2b*0 + c = 0.
    Donc c = 0.

    On obtient donc f(X) = aX^3 + bX² + 2.

    2) f(3) = 0 donc a*3^3 + b*3² + 2 = 0 soit 27a + 9b + 2 = 0. Cela ne nous donne rien pour l’instant.

    f ‘(3) = 0 car la courbe admet une tangente horizontale en B d’abscisse X = 3 (parallèle à l’axe des abscisses).
    Du coup, en reprenant l’expression de f ‘(X) plus haut,
    f ‘(3) = 3a*3² + 2b*3 + c = 0.
    Soit 27a + 6b + 0 = 0.

    Nous obtenons un système :
    { 27a + 9b + 2 = 0
    { 27a + 6b = 0
    < =>
    { 6b = -27a
    { 27a + 9b + 2 = 0
    < =>
    { b = -(9/2)a
    { 27a + 9*(-(9/2)a) + 2 = 0 soit 27a – (81/2)a + 2 = 0 soit -(27/2)a = -2 soit a = 4/27.
    < =>
    { a = 4/27
    { b = -9/2 * 4/27 = -2/3 en simplifiant par 2*9 en haut et en bas.

    Donc f(X) = (4/27)*X^3 – (2/3)*X² + 2.

    3) f(1) = (4/27)*1^3 – (2/3)*1² + 2 = (4/27) – (2/3) + 2 = 4/27 – 18/27 + 54/27 = 40/27.
    Le point d’abscisse 1 de la courbe a pour coordonnées (1 ; f(1)) soit (1 ; 40/27).

    Le coefficient d’une tangente en un point d’une courbe est f'(a) avec a l’abscisse du point.
    En reprenant f ‘(X) = 3aX² + 2bX + c = 3*(4/27)X² + 2*(-2/3)X + 0 = (4/9)X² – (4/3)X :
    f ‘(1) = 4/9 – 4/3 = 4/9 – 12/9 = -8/9. Le coefficient de cette tangente est donc -8/9.

    Bonne compréhension,
    Sylvain


  • Laisser un commentaire

    Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *