Dérivation – Fonctions, toboggan, coordonnées et pentes – Première S

décembre 14th, 2012

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Première S

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Exercice N°051 :

Une entreprise souhaite fabriquer pour de jeunes enfants des toboggans dont le profil a l’allure de la courbe ci-dessous. L’objet de l’exercice est de modéliser ce profil à l’aide de la courbe représentative C d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ;  3] vérifiant les conditions suivantes :

exo051_a

(1) La courbe C passe par les points A(0 ; 2) et B (3 ; 0).

(2) La courbe C admet en chacun des points A et B une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

Le bureau d’étude pense que l’on peut modéliser le profil du toboggan à l’aide d’une fonction polynôme de degré 3 : f(x) = ax^3 + bx² + cx +d avec a,b,c et d 4 réels.

1) Démontrer que les valeurs f(0) et f'(0)  permettent d’obtenir  c = 0 et d = 2.

2) Trouver alors a et b grâce aux valeurs de f(3) et f'(3).

3) Déterminer les coordonnées du point de la courbe de f d’abscisse 1 et le coefficient directeur de la tangente en ce point.

Bon courage,
Sylvain

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6 commentaires

  • Océane Hamel dit :

    Bonjour,
    Est-ce qu’il serait possible d’avoir la correction de cet exercice ?

    • Sylvain dit :

      Bonsoir Océane,

      1) On voit sur le graphique que f(0) = 2.
      On peut remplacer X par 0 dans la fonction. Et cela donnera 2.
      f(0) = a*0^3 + b*0² + c*0 + d = 2 soit d = 2.

      La courbe admet une tangente horizontale au point d’abscisse 0 (car parallèle à l’axe des abscisses), sa pente est donc de 0, donc f'(0) = 0.
      La dérivée de aX^3 + bX² + cX + 2 est f'(X) = 3aX² + 2bX + c.
      Du coup, f'(0) = 3a*0² + 2b*0 + c = 0.
      Donc c = 0.

      On obtient donc f(X) = aX^3 + bX² + 2.

      2) f(3) = 0 donc a*3^3 + b*3² + 2 = 0 soit 27a + 9b + 2 = 0. Cela ne nous donne rien pour l’instant.

      f'(3) = 0 car la courbe admet une tangente horizontale en B d’abscisse X = 3 (parallèle à l’axe des abscisses).
      Du coup, en reprenant l’expression de f'(X) plus haut,
      f'(3) = 3a*3² + 2b*3 + c = 0.
      Soit 27a + 6b + 0 = 0.

      Nous obtenons un système :
      { 27a + 9b + 2 = 0
      { 27a + 6b = 0
      < =>
      { 6b = -27a
      { 27a + 9b + 2 = 0
      < =>
      { b = -(9/2)a
      { 27a + 9*(-(9/2)a) + 2 = 0 soit 27a – (81/2)a + 2 = 0 soit -(27/2)a = -2 soit a = 4/27.
      < =>
      { a = 4/27
      { b = -9/2 * 4/27 = -2/3 en simplifiant par 2*9 en haut et en bas.

      Donc f(X) = (4/27)*X^3 – (2/3)*X² + 2.

      3) f(1) = (4/27)*1^3 – (2/3)*1² + 2 = (4/27) – (2/3) + 2 = 4/27 – 18/27 + 54/27 = 40/27.
      Le point d’abscisse 1 de la courbe a pour coordonnées (1 ; f(1)) soit (1 ; 40/27).

      Le coefficient d’une tangente en un point d’une courbe est f'(a) avec a l’abscisse du point.
      En reprenant f'(X) = 3aX² + 2bX + c = 3*(4/27)X² + 2*(-2/3)X + 0 = (4/9)X² – (4/3)X :
      f'(1) = 4/9 – 4/3 = 4/9 – 12/9 = -8/9. Le coefficient de cette tangente est donc -8/9.

      Les coefficients étaient tendus. Faut être au point sur les fractions…
      Sylvain

  • Lucas le gars dit :

    Bonjours je bloque pour le même exercice mais avec d=1,4 et une longueur de 2 mètres
    Je n’arrive pas à trouver la pente la plus forte merci


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