Fonctions – Polynôme, bénéfice, variation, rationnelle – Terminale ES

octobre 12th, 2014

Category: Fonctions, Polynômes et Rationnelles, Terminale ES

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Exercice N°403 :

L’entreprise Sheddon produit du tissu en coton. Celui-ci est fabriqué en 1 mètre de large et pour une longueur x exprimée en kilomètre, x étant compris entre 0 et 10.
Le coût total de production en euros de l’entreprise Sheddon est donné en fonction de la longueur x par la formule
C(x) = 15x3 − 120x2 + 500x + 750.

Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique de la fonction C.

exo403_a

Les deux parties A et B de cet exercice sont indépendantes.

Partie A : Étude du bénéfice

Si le marché offre un prix p en euros pour un kilomètre de ce tissu, alors la recette de l’entreprise Sheddon pour la vente d’une quantité x est égal à R(x) = px.

1) Tracer sur le graphique la droite D1 d’équation y = 400x.
Expliquer, au vu de ce tracé, pourquoi l’entreprise Sheddon ne peut pas réaliser un bénéfice si le prix p du marché est égal à 400 euros.

Dans cette question on suppose que le prix du marché est égal à 680 euros.

2) Tracer sur le graphique la droite D2 d’équation y = 680x.
Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le graphique, pour quelles
quantités produites et vendues, l’entreprise Sheddon réalise un bénéfice si le prix p du marché est de 680 euros.

On considère la fonction B définie sur l’intervalle [0 ; 10] par B(x) = 680x − C(x).
3) Démontrer que pour tout x ∈ [0 ; 10] on a :
B′(x) = −45x2 + 240x + 180.

4) Étudier les variations de la fonction B sur [0 ; 10].
En déduire pour quelle quantité produite et vendue le bénéfice réalisé par l’entreprise Sheddon est maximum. Donner la valeur de ce bénéfice.

Partie B : Étude du coût moyen

On rappelle que le coût moyen de production CM mesure le coût par unité produite. On considèe la fonction CM définie sur l’intervalle [0 ; 10] par CM(x) = C(x)/x.

5) Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle ]0 ; 10] on a :

C′M(x) = 30(x − 5) (x2 + x + 5)/x2.

6) Démontrer que pour tout x ∈ ]0 ; 10], C′M(x) est du signe de
(x − 5).
En déduire les variations de la fonction CM sur l’intervalle ]0 ; 10].

7) Pour quelle quantité de tissu produite le coût moyen de production est-il minimum?
Que valent dans ce cas le coût moyen de production et le coût total ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Fonctions – Courbe représentative, signe, dérivée – Terminale ES

Recherches utilisées pour trouver cet articledemontrer que pour tout x appartenant a lintervalle ]0;10] on a: Cm(x)=30(x-5)(x^2 x 5)/x^2

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