Géométrie 3D – Prisme droit, intersection, plan, droite – Seconde

octobre 13th, 2013

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Seconde

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Exercice N°273 :

Soit ABCDEF, un prisme droit, I un point de ]DE[, J un point de ]DF[ et K, le centre de la face BCFE du prisme. On s’intéresse à l’intersection des plans (IJK) et (ABC).

1er cas : (IJ)//(EF)

exo273_a

1) Montrer que l’intersection de (IJK) avec (BCF) est parallèle à (IJ). On appellera D cette intersection.

On appelle L l’intersection de D avec (EB) et M l’intersection de D avec (FC).
2) Construire sur le schéma l’intersection de (IJK) avec (ABC). On ne justifiera que l’existence des points supplémentaires nécessaire à la construction ou l’utilisation des propriétés sur le parallélisme.

2ème cas : (IJ) n’est pas parallèle à (EF).

exo273_b

3) Sans justifier, construire sur le schéma l’intersection de (IJK) avec (BCF) puis de (IJK) avec (ABC).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Géométrie 3D – Pyramide, parallélogramme, intersections – Seconde

2 commentaires

  • Dolcé dit :

    j’ai besoin d’aide rapidement je ne comprends vraiment pas cet exercice

    • Sylvain dit :

      Pour la question 1), on voit que le plan (IJK) descend en biais et traverse le plan (BCF) en K.
      On sait que (IJ) et (EF) sont parallèles d’après l’énoncé.

      Astuce : on utilise le “théorème du toit”.
      Soit (P) un plan contenant une droite (d) et (P’) contenant une droite (d’) parallèle à (d). Si les deux plans (P) et (P’) sont sécants alors leur intersection est une droite parallèle à (d).

      Résolution : Le plan (IJK) contient la droite (IJ) et le plan (BCF) à droite contient la droite (EF) qui est parallèle à (IJ). Ces deux plans sont sécants (en K notamment) donc leur intersection est une droite parallèle à (IJ). On appelle D cette droite d’intersection (le gros trait rouge ci-dessous).

      Géométrie dans l'espace, théorème du toit

      Pour la question 2, on sait que D est parallèle à (IJ) donc à (EF). K est à la fois sur (IJK) et (BCF). Il faut donc tracer D passant par K parallèle à (EF). On obtient deux points qui sont appelés L et M sur les bords de la face BCEF : L est sur la droite (EB) et M est sur la droite (FC).

      Attention : mon trait rouge passant par le point K est un peu trop bas !!! Je l’ai fait passer par la lettre, zut.

      Le plan (IJK) coupe la face frontale ABED par le point I et par le point L. Donc on trace la droite (IL).
      Le plan (IJK) coupe la face de derrière ACFD par le point J et par le point M. Donc on trace la droite (JM).

      Géométrie dans l'espace, intersection d'un plan et d'une face

      (IL) et (AB) sont deux droites sécantes dans le plan frontal (ABD). Leur point d’intersection appartient donc aux droites (IL) et (AB). On sait que (IL) appartient au plan (IJK) et (AB) appartient au plan (ABC). Donc l’intersection de (IL) et (AB) appartient à la droite d’intersection des plans (IJK) et (ABC). On trouve ce point en prolongeant les droites. Appelons-le R.

      (JM) et (AC) sont deux droites sécantes dans le plan de derrière (ACD). Leur point d’intersection appartient donc aux droites (JM) et (AC). On sait que (JM) appartient au plan (IJK) et (AC) appartient au plan (ABC). Donc l’intersection de (JM) et (AC) appartient à la droite d’intersection des plans (IJK) et (ABC). On trouve ce point en prolongeant les droites. Appelons-le S.

      Géométrie dans l'espace, deux plans sécants ont une droite pour intersection

      Deux plans sécants ont une droite pour intersection. Nous avons deux points distincts R et S qui appartiennent aux deux plans (IJK) et (ABC), donc à leur intersection. Du coup, (RS) forment la droite d’intersection de ces deux plans. Il est possible de la tracer.

      Essaie de refaire cette première partie de l’exercice.

      Bon courage,
      Sylvain


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