Géométrie 3D – Pyramide, parallélogramme, intersections – Seconde

octobre 13th, 2013

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Seconde

Tagged with: , , , , , , , , , , ,

Exercice N°272 :

Une pyramide SABCD est telle que la base ABCD est un parallélogramme.
Appelons I, J, K les milieux des arêtes [SB], [SC] et [AB].

1) Démontrer que les droites (IJ) et (AD) sont parallèles.

2) Déduire de la question 1) que le plan (SDK) et la droite (IJ) sont sécants.

3) Justifier et construire l’intersection des plans (SKD) et (SBC).

4) Justifier et construire l’intersection de la droite (IJ) avec le plan (SKD).

Bon courage,
Sylvain

bouton_rouge

Exercice précédent : Géométrie 3D – Pyramide, intersection, plan, parallèle – Seconde

Recherches utilisées pour trouver cet articlejustifier intersection des plans pyramide

2 commentaires

  • Alain dit :

    Merci pour votre reponse,
    Je bloque sur cet exercice et j’aimerais avoir de l’aide

    • Sylvain dit :

      1) Voici le dessin de la pyramide : Clique ici.

      I est le milieu de [SB], J est le milieu de [SC]. D’après le théorème de la droite des milieux, (IJ) // (BC).
      On sait aussi que ABCD est un parallélogramme donc (AD) // (BC).
      Or, deux droites parallèles à une même troisième droite (ici (BC)) sont parallèles entres elles, donc (IJ) // (AD).

      2) Voici le dessin du plan (SDK) : Clique ici

      Comme (IJ) est parallèle à (AD), alors (IJ) est parallèle à tout plan contenant (AD) comme (SDA). Donc (IJ) // (SDA).

      Or (SDA) et (SDK) sont sécants en (SD) car cette droite est commune aux deux plans et ils ne sont pas confondus.
      Il est clair que (SD) n’est pas parallèle à (IJ) car (IJ)//(AD).

      Raisonnement par l’absurde :
      On sait que (IJ) // (SDA) et on suppose (IJ) // (SDK).
      Si une droite est parallèle à deux plans et,
      si ces deux plans sont sécants,
      alors leur intersection (ici (SD)) est une droite parallèle à la droite en question (ici (IJ)) :
      soit (IJ) // (SD).
      Or on n’a vu plus haut que ce n’est pas le cas : donc (IJ) ne peut pas être parallèle à (SDK).

      Donc (SDK) et (IJ) sont sécants.

      3) L’intersection de deux plans sécants est une droite. Il faut donc trouver deux points qui sont à la fois sur (SDK) et (SBC). On a déjà le point S d’après de le nom des plans.

      Quand on regarde la figure, on voit que (DK) et (BC) sont sur un même plan, celui du “sol”.
      La droite (DK) appartient au plan (SDK) et la droite (BC) appartient au plan (SBC) d’après les noms.
      De plus, (DK) et (BC) sont sécantes : elles ont donc un point d’intersection qui appartient aux deux droites. Du coup, ce point d’intersection appartient aux deux plans (SDK) et (SBC).
      Pour le tracer, il suffit de prolonger les droites assez loin.

      Voici le dessin du prolongement des droites et du point d’intersection : Clique ici.

      Avec ces deux points (S et ce dernier), on a la droite d’intersection. Il suffit de la tracer.

      4) On sait que (IJ) et (SKD) sont sécant d’après la question 1).

      On connait l’intersection du plan (SBC) avec (SDK). C’est la droite rouge.
      Or la droite (IJ) appartient à la face -au plan- (SBC), donc son intersection avec (SKD) sera sur la droite rouge.

      Voici le dessin de la droite rouge et du point d’intersection de (IJ) et (SDK) : Clique ici. Je justifie ci-dessous.

      L’intersection de deux droites sécantes est un point. En prolongeant (IJ) vers la droite rouge, on trouve le point d’intersection (en noir) de (IJ) et de cette droite, soit l’intersection de (IJ) et de (SKD).


  • Laisser un commentaire

    Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *