Géométrie et Equations – Aire d’un quadrilatère – Seconde

octobre 9th, 2012

Category: Equations et Inéquations, Géométrie 2D/3D et Repérage, Polynômes et Rationnelles, Seconde

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Exercice N°040 :

Soit ABCD un rectangle tel que AB = 7 cm et BC = 5 cm. Le point M appartenant à [AB] est défini par AM = a (0 < a <5). On place de même les points N, P et Q tels que AM = BN = CP = DQ (voir figure). On veut calculer l’aire X de la surface coloriée MNPQ.

1) Rappeler l’expression de l’aire d’un triangle DEF rectangle en E.

2) a) Calculer en fonction de a, les aires des triangles AMQ, BMN, CNP et DPQ. On donnera toutes les justifications nécessaires.

b) En justifiant soigneusement, en déduire que X = 2a² – 12a + 35.

3) a) Calculer X pour a = 1 puis a = 5/2.

b) Déterminer a pour que l’aire X soit égale à 17 cm².

Bonne chance,
Sylvain

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22 commentaires

  • troi dit :

    je bloque a partir de la deuxieme question merci davance

    • Sylvain dit :

      Calculer en fonction de a, les aires des triangles AMQ, BMN, CNP et DPQ. On donnera toutes les justifications nécessaires.

      Pour calculer l’aire d’un triangle, il faut utiliser la formule (Base * Hauteur)/2. Comme ici, les triangles sont rectangles, la hauteur est l’un des côtés adjacent à l’angle droit. On obtient donc comme formule (Côté * Côté)/2. Les côtés sont ceux près de l’angle droit.

      Dans les 4 triangles, l’un des deux côtés a comme longueur “a”. C’est “a” qu’il faut mettre dans la formule. Le rectangle ABCD a des côtés de longueur 5 et 7. De plus, on voit sur la figure que AM = BN = QD = CP = a.
      Les seules inconnues sont MB, DP, NC et AQ. Ces segments sont des morceaux des côtés des rectangles auxquels on a enlevé la longueur “a”. Donc, d’après le dessin, MB = DP = 7 – a. Et AQ = NC = 5 – a.

      Pour revenir à la formule de ces triangles rectangles, on obtient (a * (7-a)) / 2 et (a * (5-a)) / 2.

      Pour arriver à l’équation, il faut faire :
      Aire = Aire(Rectangle) – 2 * Aire(Triangle couchés) – 2 * Aire(Triangle debout)
      = 7*5 – 2 * (a * (7-a)) / 2 – 2 * (a * (5-a)) / 2
      = 35 – (a * (7-a)) – (a * (5-a))
      = 35 – (7a – a²) – (5a – a²)
      = 35 – 7a + a² – 5a + a²
      = 2a² – 12a + 35

      Est-ce que tu comprends mes explications ? Sinon qu’est-ce que je dois préciser ?
      Sylvain

      • Jean dit :

        J’ai eu le même énoncé. Je suis arrivé jusqu’à la question 2.a), mais comment faire pour la b) ainsi que toute la 3 ?
        Comment peut-on en déduire X ?

        • Sylvain dit :

          Bonsoir,

          une fois que l’on connaît l’aire des quatre triangles bleus, il suffit de soustraire l’aire du grand rectangle (7*5) par la somme des aires de ces quatre triangles pour obtenir celle du parallélogramme. J’ai expliqué dans un autre commentaire comment avoir celles des 4 rectangles.

          3) a) Une fois que l’on a prouvé que X = 2a² – 12a + 35. Il faut remplacer a par les valeurs demandées et calculer X.
          b) C’est le contraire. On veut trouver la valeur de a pour une aire X = 17. Donc on remplace X par 17 dans l’équation et on la résout comme une équation normale avec des x² et des x (là c’est avec a).

          Tu as saisi ?

          Bon courage,
          Sylvain

  • Jean dit :

    Merci beaucoup. Entre temps, j’avais réussi à trouver la réponse à la question 3, mais je bloquais vraiment pour la deux. Et oui, je viens de comprendre le raisonnement.

  • Sylvain dit :

    Parfait ! A toi de bien noter et retenir cette astuce qui pourra te servir dans d’autres exercices : une aire bizarre est souvent égale à l’aire totale – les aires qu’on enlève.

  • Sherifaa dit :

    Je ne comprend pas la 2.b)

  • Sherifaa_ dit :

    Je bloque pour la 3b

  • ibrahim guennad dit :

    bonjour à la question 3.b, j’n’arrive pas a faire cet équation, pouvez-vous me montrer comment faire svp, merci d’avance :)

  • Ibrahim_59 dit :

    pouvez vous me montrer les étapes de la 3.b svp, merci d’avance :)

    • Sylvain dit :

      C’est parti!

      On sait que X = 2a² – 12a + 35.
      On veut X = 17.
      Donc 17 = 2a² – 12a + 35.
      17 – 17 = 2a² – 12a + 35 – 17.
      0 = 2a² – 12a + 18.
      Polynôme du second degré.

      Delta = b^2 – 4ac = (-12)^2 – 4*2*18
      = 144 – 144 = 0.

      Delta = 0 donc on a une racine double et une seule solution à l’équation 0 = 2a² – 12a + 18.

      a = -b/2a = -(-12) / (2*2) = 3.
      S = { 3 }.

      Si a = 3, l’aire est égale à 17cm^2.

      As-tu compris ?
      Sylvain

  • leia dit :

    je n’ai toujours pas compris la question 2a)

  • leia dit :

    maintenant c’est la question 2b) je vois pas comment résoudre l’équation. Pouvez-vous m’aider?

  • Nounouch dit :

    Je n ai pas compris la 2a quand vous dites (a×(7-a))/2 et (a×(5-a))/2 pouvez vous m expliquer

    • Sylvain dit :

      Question 2a) Précision :

      AM = a
      AQ = 5-a
      Comme le triangle AMQ est rectangle en A, on peut calculer son aire en faisant AM*AQ/2 car AM et AQ sont la base et la hauteur.
      On a donc a*(5-a)/2.

      De même,
      BM = 7-a
      BN = a
      Comme le triangle BNM est rectangle en B, on peut calculer son aire en faisant BM*BN/2 car BM et BN sont la base et la hauteur.
      On a donc a*(7-a)/2.

      Il en est de même pour les deux autres triangles.
      As-tu compris ?

  • Corobizar dit :

    mon prof de math ma donner le meme exo jlui dit coucou d’ici sa fait plaisir :D

  • Djeneba dit :

    La question 1 je ne l’ai pas compris

    • Sylvain dit :

      On cherche l’expression de l’aire d’un triangle DEF rectangle en E. Une expression, cela veut dire qu’on peut mettre des variables comme X à droite du égal ou alors des côtés.

      Comme on est dans un triangle rectangle, la formule de l’aire Base*Hauteur/2 devient Côté_Angle_Droit1*Côté_Angle_Droit2/2 car la base et la hauteur sont les deux côtés auprès de l’angle droit. Ils s’appellent DE et EF.

      Donc Aire(DEF rectange en E) = DE*EF/2.

      As-tu compris ?
      Sylvain


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