Géométrie Espace – Plans, droite, équations, distance – Terminale S

avril 1st, 2016

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Exercice N°481 :

L’espace est rapporté à un repère orthonormé (i ; j ; k).
On considère la droite D passant par le point A de coordonnées (3 ; -4 ; 1) et dont un vecteur directeur est u(1 ; -3 ; 1).
On considère la droite D’ dont une représentation paramétrique est :
{ x = -1 – t
{ y = 2 + t (t ∈ ℝ)
{ z = 1 – t

On admet qu’il existe une unique droite Δ perpendiculaire aux droites D et D’. On se propose de déterminer une représentation paramétrique de cette droite Δ et de calculer la distance entre les droite D et D’, distance qui sera définie aux questions 8 et 9.

On note H le point d’intersection des droites D et Δ, H’ le point d’intersection des droites D’ et Δ. On appelle P le plan contenant la droite

D et la droite Δ. On admet que le plan P et la droite D’ sont sécants en H’.

Voici la figure :

plans droites intersections perpendiculaires

On considère le vecteur w de coordonnées (1 ; 0 ; -1).
1) Démontrer que w est un vecteur directeur de la droite Δ.

Soit n le vecteur de coordonnées (3 ; 2 ; 3).
2) Démontrer que le vecteur n est normal au plan P.

3) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est
3x + 2y + 3z – 4 = 0.

4) Démontrer que le point H’ a pour coordonnées (-1 ; 2 ; 1).

5) En déduire une représentation paramétrique de la droite Δ.

6) Déterminer les coordonnées du point H.

7) Calculer la longueur HH’.

Questions “trace de recherche” :

L’objectif de cette question est de montrer que, pour tout point M appartenant à D et tout point M’ appartenant à D’, MM’ ≥ HH’.
8) Montrer que MM’ peut s’écrire comme la somme de HH’ et d’un vecteur orthogonal à HH’.

9) En déduire que ||MM’||2 ≥ ||HH’||2 et conclure.

Petite conclusion : La longueur HH’ réalise donc le minimum des distances entre un point de D et un point de D’. On l’appelle donc distance entre les droites D et D’.

Bon courage,
Sylvain

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