Géométrie Espace – Position relative, points, droites – Terminale S

avril 1st, 2016

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Exercice N°487 :

L’espace est rapporté à un repère orthonormal (O ; i ; j ; k).

On considère les plans et droite suivants :
Le plan (P1) d’équation cartésienne : −x + 2y + 3z − 5 = 0.
Le plan (P2) d’équation cartésienne : 3x − 6y − 9z − 12 = 0.
Le plan (P3) ayant pour représentation paramétrique :
{ x = 1 + 2t − t’
{ y = −2 + 2t’ (t ∈ ℝ, t’ ∈ ℝ)
{ z = 2 + t + 3t’

La droite (D) définie par le système d’équations paramétriques :
{ x = −1 + 2t
{ y = 2 − t , t ∈ ℝ
{ z = 3 + t

Pour chaque question, déterminer la proposition exacte en justifiant.

1) Quelle est la position relative de (D) et (P1) ?
a) (D) est incluse dans (P1),
b) (D) est strictement parallèle à (P1),
c) (D) est sécante à (P1).

2) Quelle est la position relative de (P1) et (P2) ?
a) (P1) et (P2) sont sécants.,
b) (P1) et (P2) sont strictement parallèles,
c) (P1) et (P2) sont confondus.

3) Le point d’intersection de la droite (D) et du plan (P2) est :
a) M1(35 ; −16 ; 21),
b) M2(2 ; −1 ; 1),
c) M3(19 ; −8 ; 13).

4) Le plan (P3) contient le point :
a) N1(1 ; 2 ; −1),
b) N2(2 ; 0 ; 6),
c) N3(2 ; 2 ; 3).

5) La droite perpendiculaire à (P3) passant par le point E(1 ; −2 ; 2) a pour équations paramétriques :
a)
{ x = 1 + 2t
{ y = −2 (t ∈ ℝ)
{ z = 2 + t

b)
{ x = 1 – t
{ y = -1 + 2t (t ∈ ℝ)
{ z = 2 + 3t

c)
{ x = 1 – 2t
{ y = -2 – 7t (t ∈ ℝ)
{ z = 2 + 4t

Bon courage,
Sylvain

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