Géométrie Espace – Vecteur normal, cartésienne, sphère – Terminale S

avril 1st, 2016

Category: Géométrie 2D/3D et Repérage, Terminale S

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Exercice N°484 :

L’espace est muni d’un repère orthonormal (O ; i ; j ; k).

On considère les points A(1 ; −1 ; 4), B(7 ; −1 ; −2) et C(1 ; 5 ; −2).

1) Calculer les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC.

2) Montrer que le vecteur n(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC).

3) En déduire que x + y + z − 4 = 0 est une équation cartésienne du

plan (ABC).

Soit D la droite de représentation paramétrique :
{ x = −2t
{ y = −2t − 2 où t ∈ ℝ.
{ z = −2t − 3.

4) Montrer que la droite D est perpendiculaire au plan (ABC).

5) Montrer que les coordonnées du point G, intersection de la droite D et du plan (ABC) sont (3 ; 1 ; 0).

6) Montrer que GA + GB + GC = 0.
On dit que G est l’isobarycentre des points A,B et C.

Soit S la sphère de centre G passant par A.
7) Donner une équation cartésienne de la sphère S.

8) Déterminer les coordonnées des points d’intersection E et F, de la droite D et de la sphère S.

Bon courage,
Sylvain

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