Logarithme Népérien – Dérivée, variation, intégrale – Terminale ES

août 2nd, 2015

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°415 :

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par
f(x) = (2ln(x) + 4)/x.

1) Résoudre l’inéquation f(x) ≥ 0.

2) On note f′ la dérivée de la fonction f. Calculer f′(x).

3) Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

4) Montrer que la fonction G définie sur ]0;+1[ par G(x) =(ln x)2 est une primitive de la fonction g définie pour tout réel x strictement positif par g(x) = 2ln(x)/x.

5) En déduire une primitive F de la fonction f sur ]0 ; +∞[.

6) Étudier la convexité de la fonction F.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormé.
7) Déterminer l’aire, en unités d’aire, de la surface comprise entre la courbe Cf, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 1 et x = e2.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Suites – Enoncé, géométrique, variation, explicite – Première ES

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