Logarithme Népérien – Equation, exponentielle, fonction – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°354 :

On considère l’équation (E) d’inconnue x réelle : ex = 3(x2 + x3).

Le graphique ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction exponentielle et celle de la fonction f définie sur ℝ par
f(x) = 3(x2 + x3) telles que les affiche une calculatrice dans un même repère orthogonal.

exo354_a

1) A l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer le nombre de solutions de l’équation (E) et leur encadrement par deux entiers consécutifs.

2) Étudier selon les valeurs de x, le signe de x2 + x3.

3) En déduire que l’équation (E) n’a pas de solution sur l’intervalle ]-∞ ; −1].

4) Vérifier que 0 n’est pas solution de (E).

On considère la fonction h, définie pour tout nombre réel de
] −1 ; 0 [⋃] 0 ; +∞[ par : h(x) = ln 3 + ln (x2) + ln(1 + x) − x.

5) Montrer que, sur ] − 1 ; 0 [⋃] 0 ; +∞[, l’équation (E) équivaut à
h(x) = 0.

6) Montrer que, pour tout réel x appartenant à ] −1 ; 0 [⋃] 0 ; +∞[, on a :
h'(x) = (−x2 + 2x + 2)/x(x + 1).

7) Déterminer les variations de la fonction h.

8) Déterminer le nombre de solutions de l’équation h(x) = 0 et donner une valeur arrondie au centième de chaque solution.

9) Conclure quant à la conjecture de la question 1).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Logarithme Népérien – Fonction, variation, distance – Terminale S

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