Logarithme Népérien – Équations, variation, convexité – Terminale ES

août 2nd, 2015

Category: Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°416 :

1) Résoudre l’équation suivante dans ℝ : ln (x2 – 2x – 3) = ln x.

2) Résoudre l’inéquation suivante dans ℝ : e(3x – 1) ≤ 2.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; 9] par :
f(x) = 2x – 4ln x.
On désigne par (C) sa courbe représentative.

3) Étudier le sens de variation de f sur l’intervalle [1 ; 9] puis dresser son tableau de variation.

4) Calculer f’ ‘(x) puis étudier la convexité de f.

5) Déterminer l’équation de la tangente (T) à (C) au point d’abscisse e.

6) En regardant le graphique, préciser la position relative de la courbe (C) par rapport à la tangente (T).

7) En se basant sur le graphique et sur la position relative trouvée, puis en comparant avec de signe de f(x) – y (de la tangente), en déduire que
∀ x ∈ [1 ; 9], x – e*ln x ≥ 0.

8) Prouver que l’équation f(x) = 4 a une solution unique α dans l’intervalle [2 ; 9].

9) Donner une valeur approchée de α à 10-1 près.

Bon courage,
Sylvain

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