Logarithme Népérien – Exponentielle, fonction, variation – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°357 :

f est la fonction définie sur ℝ par :
f(x) = x + 2 − ln(1 + e2x)

C est sa courbe représentative dans un repère orthogonal
(O ; ->i ; ->j) avec 1 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée.

Étude d’une fonction auxiliaire :

On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par :
g(x) = ex + e−x.

1) Calculer la limite de g en +∞.

2) Étudier les variations de g sur [0 ; +∞[, puis établir le tableau de variation de g.

3) Prouver que l’équation g(x) = e2 admet une unique solution, notée α, sur [0 ; +∞[. Donner un encadrement d’amplitude 10−2, de α.

Étude de la fonction f et de sa courbe C :

4) Déterminer la limite en −∞ de ln(1 + e2x).

5) En déduire la limite de f en −∞.

6) Montrer que, pour tout réel x : f(x) = 2 − x − ln(1 + e−2x)

7) En déduire la limite de f en +∞.

8) Montrer que l’axe des ordonnées est un axe de symétrie pour C.

9) Résoudre l’équation 1 − e2x = 0 sur ∞.

10) Résoudre l’inéquation 1 − e2x > 0 sur ∞.

11) Prouver que, pour tout réel x, f′(x) = (1 − e2x)/(1 + e2x) où f′ est la fonction dérivée de f.

12) Étudier les variations de la fonction f.

13) Prouver que f(α) = 0.

14) Tracer C .

Bon courage,
Sylvain

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