Logarithme Népérien – Fonction, distance, algorithme – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Algorithmique, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°356 :

1) ROC : Démontrer que limx->+∞ln x/x.

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par f(x) = x – ln x/x.
On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormal
(O, ->i, ->j).

Soit g la fonction définie sur [1 ; +∞[ par g(x) = x² – 1 + ln(x).
2) Montrer que la fonction g est positive sur [1 ; +∞[.

3) Montrer que, pour tout x de [1 ; +∞[, f'(x) = g(x)/x².

4) En déduire le sens de variation de f sur [1 ; +∞[.

5) Étudier la position relative de la courbe C par rapport à la droite D d’équation y = x.

Pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, on note respectivement Mk et Nk les points d’abscisse k de C et de D.

6) Montrer que, pour tout entier naturel k supérieur ou égal à 2, la distance MkNk entre les points Mk et Nk est donnée par
MkNk = (ln k)/k.

7) Écrire un algorithme déterminant le plus petit entier k0 supérieur ou égal à 2 tel que la distance MkNk soit inférieure ou égale à 10-2. Donner la valeur de k0.

Bon courage,
Sylvain

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