Logarithme Népérien – Fonction, suite, algorithme – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Suites, Terminale S

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Exercice N°355 :

On considère la fonction f définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par
f(x) = x/ln x.

Ci-dessous, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe C représentative de la fonction f ainsi que la droite D d’équation y = x.

exo355_a

1) Calculer les limites de la fonction f en +∞ et en 1.

2) Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle ]1 ; +∞[.

3) En déduire que si x > e alors f(x) > e.

On considère la suite (un) définie par :
{ u0 = 5,
{ pour tout entier naturel n, un+1 = f(un).

4) Sur le graphique ci-dessus, en utilisant la courbe C et la droite D, placer les points A0, A1 et A2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives u0, u1 et u2. On laissera apparents les traits de construction.
Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite (un) ?

5) Étudier les variations de la suite (un), et monter qu’elle est minorée par e.

6) En déduire que la suite (un) est convergente.

On donne l’algorithme ci-dessous. Par ailleurs, un tableur (en dessous de l’algorithme) donne ces approximations pour certains termes de la suite (un).

exo355_b
exo355_c

7) A l’aide du tableau, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.

8) Un programmeur modifie par erreur l’algorithme en remplaçant la condition “Tant que X > 2,72” par “Tant que X > 2,71”.
Commenter cette erreur, si c’en est une.

Bon courage,
Sylvain

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