Logarithme Népérien – Fonctions, variations, inéquations – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Equations et Inéquations, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°358 :

0) Rappeler la dérivée de u² (où u est une fonction dérivable).
En déduire la dérivée de la fonction h définie sur ] 0 ; +∞ [ par :
h(x) = (ln x)2.

Soit f la fonction définie sur ℝ+* par : f(x) = (ln x)2 − 6ln x + 5.

1) Étudier f (sens de variation, limites en 0 et en +∞).

2) Calculer la dérivée seconde f'' de f.

3) Pour quelle valeur x0 de x l’égalité f''(x) = 0 est-elle vérifiée ?

4) Déterminer l’équation cartésienne de la tangente D à la courbe
représentative Cf de f au point M0 d’abscisse e4.

On considère la fonction g définie sur ℝ+* par :
g(x) = (ln x)2 − 6ln x + 5 − 2/(e4)x + 5

5) Calculer les dérivées première et seconde (g’ et g'') de g.

6) Étudier le sens de variation de g’ et en déduire le signe de g'(x).

7) Étudier le sens de variation de g et en déduire le signe de g(x).

8) En déduire la position relative de Cf et D.

9) Construire la courbe Cf lorsque x varie sur l’intervalle ] 0 ; 150 [.
On prendra un repère orthogonal en choisissant pour l’unité : 1mm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.
On construira les points d’abscisses en pour n entier.

10) Construire dans le même repère la droite D et préciser son point d’intersection T avec l’axe des ordonnées.

11) Résoudre algébriquement dans ℝ l’inéquation : f(x) > 0.

12) Résoudre graphiquement dans ℝ l’inéquation : f(x) ≤ −3.

Bon courage,
Sylvain

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