Logarithme Népérien – Tableaux, solution unique, primitive – Terminale ES

août 2nd, 2015

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Terminale ES

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Exercice N°417 :

On considère la fonction f définie sur ]0 ; 6] par f(x) = x(ln x – 1).

1) Montrer que, pour tout x de ]0 ; 6], on a : f′(x) = ln x.

2) Étudier le signe de f′(x) sur ]0 ; 6] et en déduire le tableau de variations de f sur ]0 ; 6].

3) Montrer que l’équation f(x) = 0 a une solution unique α ∈ [1 ; 6].

4) À l’aide de la calculatrice, donner une valeur approchée de α à 10-1 près.

5) Déterminer la valeur exacte de α par le calcul.

6) Démontrer que la fonction H définie sur ]0 ; +∞[ par
H(x) = 1/2x2ln x – 1/4x2 est une primitive de la fonction h définie sur ]0 ; +∞[ par h(x) = xln x.

7) En déduire une primitive F de f.

8) On appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
Calculer l’aire, en unités d’aire, de la partie du plan limitée par C, l’axe des abscisses et les droites
d’équation x = 4 et x = 5. On arrondira le résultat au dixième.

Bon courage,
Sylvain

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