Logarithme Népérien – Variation, signe, bénéfice – Terminale ES

août 3rd, 2015

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°420 :

Une entreprise fabrique et vend à des particuliers des panneaux solaires photovoltaïques produisant de l’électricité.
Elle en produit chaque mois entre 50 et 2500.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0,5 ; 25] par
f(x) = 18 ln x − x2 + 16x − 15.

Si x représente le nombre de centaines de panneaux solaires fabriqués et vendus, alors on admet que f(x) représente le bénéfice mensuel de l’entreprise, en milliers d’euros.
On suppose que f est dérivable sur [0,5 ; 25], et on note f’ sa fonction dérivée.

1) Calculer f'(x). Vérifier que, pour tout nombre x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25], on a f'(x) = (-2x2 + 16x + 18)/x.

2) Étudier le signe de f'(x) sur l’intervalle [0,5 ; 25]. En déduire les variations de la fonction f sur l’intervalle [0,5 ; 25].

3) Calculer f(1).

4) Montrer que sur l’intervalle [18 ; 19] l’équation f(x) = 0 admet une solution unique α. Déterminer une valeur approchée par défaut de α à 10−2 près.

5) En déduire le signe de f(x) pour tout x appartenant à l’intervalle [0,5 ; 25].

6) Quels sont le nombre minimal et le nombre maximal de panneaux que l’entreprise doit produire et vendre pour être bénéficiaire ?

7) L’entreprise peut-elle réaliser un bénéfice mensuel de 100 000 euros ? Justifier la réponse.

Bon courage,
Sylvain

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