Logarithme Népérien – Variations, suite, algorithme – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Algorithmique, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Suites, Terminale S

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Exercice N°350 :

On considère la fonction f définie et dérivable sur l’intervalle
[0 ; +∞[ par f(x) = 5 ln(x + 3) − x.

1) On appelle f′ la fonction dérivée de la fonction f sur [0 ; +∞[. Calculer f′(x) et étudier son signe sur [0 ; +∞[.

2) Donner, dans un tableau, les variations de f sur l’intervalle
[0 ; +∞[.

3) Montrer que, pour tout x strictement positif on a :

f(x) = x(5ln x/x − 1) + 5(ln 1 + 3/x).

4) En déduire la limite de f en +∞.

5) Compléter le tableau de variation de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

6) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans l’intervalle [0 ; +∞[. On notera α cette solution.

7) Après avoir vérifié que α appartient à l’intervalle [14 ; 15], donner une valeur approchée de α à 10−2 près.

8) En déduire le signe de f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

Suite :

Soit (un) la suite définie par :
{ u0 = 4
{ un+1 = 5 ln (un + 3) pour tout entier naturel n ≠ 0.
On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par
g(x) = 5 ln(x + 3).

Ci-dessous, on a tracé dans un repère orthonormé la droite D d’équation y = x et la courbe C, courbe représentative de la fonction g.

exo350_a

9) Construire sur l’axe des abscisses de l’annexe 1 les termes u0, u1, u2 de la suite (un) en utilisant la droite
et la courbe données et en laissant apparents les traits de construction.

10) Formuler une conjecture sur le sens de variations de la suite (un)

11) Étudier le sens de variations de la fonction g sur l’intervalle
[0 ; +∞[.

12) Vérifier que g(α) = α où α est défini dans la question 6).

13) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a 0 ≤ un ≤ α.

14) Démontrer alors la conjecture émise à la question 10).

15) En utilisant la question 6), justifier que limn->∞un = α

On considère l’algorithme suivant :
u prend la valeur 4
Répéter Tant que u − 14,2 < 0 | u prend la valeur de 5 ln(u + 3) Fin du Tant que Afficher u

16) Justifier que cet algorithme se termine.

17) Donner la valeur que cet algorithme affiche (on arrondira à 5 décimales).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Fonctions – Image, antécédents, équations, développement – Seconde

Recherches utilisées pour trouver cet articlemath term s on considere lalgorithme suivant 0 5un 0 5n-1 5 conjecture corrigé récurrence

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