Logarithme Népérien – Variations, suite, limite – Terminale S

janvier 6th, 2014

Category: Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Suites, Terminale S

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Exercice N°351 :

Soit (un) la suite définie par :
{ u0 = 1
{ un+1 = un – ln(un² + 1) pour tout entier naturel n.

Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x – ln(x² + 1).

1) Étudier le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 1].
En déduire que si x ∈ [0 ; 1] alors f(x) ∈ [0 ; 1].

La courbe représentative de f est tracée sur le document ci-dessous.

exo351_a

2) Sur l’axe des abscisses, placer u0 puis construire u1, u2 et u3 en laissant apparents les traits
de construction.

3) Démontrer par récurrence que, pour tout entier n > 0,
un ∈ [0 ; 1].

4) Étudier le sens de variation de la suite (un).

5) Démontrer que la suite (un) est convergente. Déterminer sa limite.

Bon courage,
Sylvain

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