Lois continues – Exponentielle, binomiale, paramètre – Terminale S

janvier 25th, 2016

Category: Exponentielle et Logarithme, Probabilités, Lois, Fluctuations, Terminale S

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Exercice N°451 :

Un magasin vend des moteurs électriques tous identiques. Une étude statistique du service après-vente a permis d’établir que la probabilité qu’un moteur tombe en panne pendant la première année d’utilisation est égale à 0,12. Tous les résultats seront arrondis à 10−3

Une entreprise achète 20 moteurs électriques dans ce magasin. On admet que le nombre de moteurs vendus dans ce magasin est suffisamment important pour que l’achat de 20 moteurs soit assimilé à 20 tirages indépendants avec remise.

1) Quelle est la probabilité que deux moteurs exactement tombent en panne durant la première année d’utilisation ?

2) Quelle est la probabilité qu’au moins un des moteurs tombe en panne au cours de la première année d’utilisation ?

On admet que la durée de vie sans panne, exprimée en années, de chaque moteur est une variable aléatoire Y qui suit une loi exponentielle de paramètre λ où λ, est un réel strictement positif.
On rappelle que pour tout réel positif t, p(Y ≤ t) = [de 0 à t] λe-λx dx.
Dans les questions 1, 2, 3, les résultats seront arrondis à 10−3.

3) Exprimer p(Y ≤ 1) en fonction de λ. En déduire la valeur de λ.

Pour la suite de l’exercice, on prendra λ = 0,128.

4) Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 3 ans ?

5) Quelle est la probabilité qu’un moteur dure plus de 4 ans sachant qu’il a duré plus d’un an ?

On admet que la durée de vie moyenne dm de ces composants est la limite quand A tend vers +∞ de :
[de 0 à A] λxe-λx dx.
6) En déterminant une primitive de x → λxe-λx
sous la forme x → (ax + b)e-λx,
montrer que [de 0 à A] λxe-λx dx = (-λAe-λx – e-λx + 1) / λ.

7) En déduire dm. On donnera la valeur exacte et une valeur approchée décimale au mois près.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Lois continues – Exponentielle, durée de vie, lambda – Terminale S

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