Lois continues – Exponentielle, durée de vie, lambda – Terminale S

janvier 25th, 2016

Category: Exponentielle et Logarithme, Probabilités, Lois, Fluctuations, Terminale S

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Exercice N°450 :

Une et une seule réponse est exacte pour chaque question.
On s’intéresse à la durée de vie, exprimée en années, d’un appareil ménager avant la première panne. On peut modéliser cette situation par une loi de probabilité p de durée de vie sans vieillissement, définie sur l’intervalle [0 , +∞[. Ainsi, la probabilité d’un intervalle [0 , t[, notée p([0, t[), est la probabilité que l’appareil ménager tombe en panne avant l’instant t.

Cette loi est telle que p ([0, t[) = [de 0 à t] λe-λx dx, où t est un nombre réel positif représentant le nombre d’années (loi exponentielle de paramètre λ, avec λ > 0).

1) Pour t ≥ 0, la valeur exacte de p([t , +∞[) est :
a) 1 – e-λt,
b) e-λt,
c) 1 + e-λt.

2) La valeur de t pour laquelle on a p([0, t[) = p([t, +∞[) est :
a) ln(2)/λ,
b) λ/ln(2),
c) λ/2.

3) D’après une étude statistique, la probabilité que l’appareil tombe en panne avant la fin de la première année est 0,18. La valeur exacte de λ est alors :
a) ln( 50/41 ),
b) ln( 41/50 ),
c) ln(82) / ln(100).

4) Sachant que cet appareil n’a connu aucune panne au cours des deux premières années après sa mise en service, la probabilité qu’il ne connaisse aucune panne l’année suivante est :
a) p([1, +∞[),
b) p([3, +∞[),
c) p([2 ; 3[).

5) On prend λ = 0,2. La probabilité que l’appareil n’ait pas eu de panne au cours des trois premières années, arrondie à 10−4 près, est :
a) 0,5523,
b) 0,5488,
c) 0,4512.

Bon courage,
Sylvain

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