Lois continues – Exponentielle, primitive, binomiale – Terminale S

janvier 22nd, 2016

Category: Exponentielle et Logarithme, Probabilités, Lois, Fluctuations, Terminale S

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Exercice N°448 :

Une entreprise d’autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des chutes de pierres, la présence de troupeaux sur la route, etc.

Un autocar part de son entrepôt. On note D la variable aléatoire qui mesure la distance en kilomètres que l’autocar va parcourir jusqu’à ce qu’il surviennent un incident. On admet que D suit une loi exponentielle de paramètre λ = 1/82, appelée aussi loi de durée de vie sans vieillissement.

Dans tout l’exercice, les résultats numériques seront arrondis au millième.

1) Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km.

2) Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit supérieure à 300 km.

3) Sachant que l’autocar a déjà parcouru 350 km sans incident, quelle est la probabilité qu’il n’en subisse pas non plus au cours des 25 prochains kilomètres ?

Détermination de la distance moyenne parcourue sans incident.

4) Montrer que la fonction t → (-t-82)et/82 est une primitive de t → 1/82t×et/82.

5) En déduire l’espérance de D (cette valeur représente la distance moyenne cherchée).

L’entreprise possède 50 autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l’entrepôt et le lieu où survient un incident sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle de paramètres 1/82.
d étant un réel positif, on note Xd la variable aléatoire égale au nombre d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru d kilomètres.

6) Montrer que Xd suit une loi binomiale de paramètres 50 et e-λd.

7) Déterminer le nombre moyens d’autocars n’ayant subi aucun incident après avoir parcouru 150 km, c’est-à-dire l’espérance de X150.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Lois continues – Normale, espérance, écart-type, courbe – Terminale S

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