Lois continues – Normale centrée réduite, la formule – Terminale S

janvier 22nd, 2016

Category: Fonctions, Probabilités, Lois, Fluctuations, Terminale S

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Exercice N°446 :

La fonction f est définie sur ℝ par : f(x) = 1/√(2π) × ex2/2.

Il est rappelé que f est la fonction densité de la loi normale centrée, réduite, d’espérance 0 et d’écart-type 1.
Z est la variable aléatoire associée à N(0, 1).
On rappelle que :
f est paire,
[de -∞ à +∞] f(t)dt
= lim[x → -∞] ( ∫[de x à 0] f(t)dt ) + lim[x → +∞] ( ∫[de 0 à x] f(t)dt )
= 1.

Soit G la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : G(x) = [de 0 à x] f(t)dt.

1) Justifier que G admet 1/2 pour limite en +∞.

2) Étudier les variations de G sur [0 ; +∞[.

3) Soit α ∈ ]0 ; 1]. Justifier qu’il existe un unique réel positif uα tel que
G(uα) = (1 − α)/2.

4) En déduire la probabilité que Z ∈ [−uα ; uα].

Bon courage,
Sylvain

Exercice précédent : Lois continues – Exponentielle, paramètre lambda, temps – Terminale S

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