Matrices – Fonction, système, équation, inverse – Terminale ES

février 15th, 2016

Category: Fonctions, Matrices, Terminale ES

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Exercice N°464 :

Stéphanie a lancé un réseau d’agence de location de vélos en Bretagne. Depuis 2012, le nombre d’agences n’a fait qu’augmenter. Ainsi on comptait 10 agences au 1er janvier 2012, puis 30 au 1er janvier 2014 et enfin 70 au 1er janvier 2016.

On admet que l’évolution du nombres d’agences peut être modélisée par une fonction f définie sur [0 ; +∞[ par
f(x) = ax2 + bx + c où a, b et c sont trois nombres réels.

La variable x désigne le nombre d’années écoulées depuis 2012 et f(x) exprime le nombre d’agence en dizaines, la valeur 0 de x correspond donc à l’année 2012. Sur le dessin ci-dessous, on a représenté graphiquement la fonction f.

exo464_a

On cherche à déterminer la valeur des coefficients a, b et c.

1) A partir des données de l’énoncé, écrire un système d’équations S traduisant cette situation.

2) En déduire que le système précédent est équivalent à :
MX = R

avec M =
( 0 0 1 )
( 4 2 1 )
( 16 4 1 ),

X =
( a )
( b )
( c ),

et R une matrice colonne que l’on précisera.

On admet que M-1 =
( 0.125 -0.25 0.125 )
( -0.75 1 -0.25 )
( 1 0 0 )

3) A l’aide de cette matrice, déterminer les valeurs des coefficients a, b et c en détaillant les calculs.

4) Suivant ce modèle, déterminer le nombre d’agences que l’entreprise possédera au 1er janvier 2018.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Primitives – ROC, suite, exponentielle, égalités – Terminale S

1 commentaire

  • Sylvain Jeuland dit :

    1) D’après les données, on sait que :
    f(0) = 1 car il y a 1 dizaine à l’année (2012 + 0),
    f(2) = 3 car il y a 3 dizaines à l’année (2012 + 2),
    f(4) = 7 car il y a 7 dizaines à l’année (2012 + 4).

    D’après la formule f(x) = ax² + bx + c, on a :
    f(0) = a*0² + b*0 + c = 0a + 0b + 1c,
    f(2) = a*2² + b*2 + c = 4a + 2b + 1c,
    f(4) = a*4² + b*4 + c = 16a + 4b + 1c.

    En rassemblant les deux écritures différentes de f(0)=f(0), f(2)=f(2) et f(4)=f(4) ensemble, on obtient le système :
    { 0a + 0b + 1c = 1,
    { 4a + 2b + 1c = 3,
    { 16a + 4b + 1c = 7.
    (avec une grande accolade au lieu de trois petites).

    2) On reconnait avec 0,0,1 puis 4,2,1 puis 16,4,1 les coefficients de la matrice M.
    La partie gauche du système s’écrit donc M*X avec X la matrice colonne aux coefficients a,b,c.
    La partie droite sera R, la matrice colonne :
    ( 1 )
    ( 3 )
    ( 7 ).
    On a donc MX = R.

    3) Pour trouver la matrice X, il faut mettre la matrice inverse de M devant chaque membre de l’égalité :
    M-1MX = M-1R
    I3X = M-1R (car une matrice fois son inverse fait l’identité).
    X = M-1R (car l’identité fois une matrice, donne la même matrice).

    Maintenant, il faut faire le produit M-1 et R.
    Multiplication de matrices

    On obtient X =
    ( 0.25 )
    ( 0.5 )
    ( 1 ).

    Donc f(x) = 0,25x2 + 0,5x + 1.
    En 2018, x = 6, donc f(6) = 0.25*36 + 0.5*6 + 1
    = 9 + 3 + 1 = 13 agences.


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