Primitives – Calculs, logarithme, intégrale, inégalités – Terminale S

janvier 29th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Terminale S

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Exercice N°460 :

Calculer les intégrales suivantes :
1) [de 0 à 4] x2ex3+1 dx

2) [de 1 à 4] 1/√(3x+1)/ dx

3) [de 0 à π] sin(3x) dx

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par :
f(x) = x + ln(1 + e-x).

Sa courbe représentative (C) ainsi que la droite (D) d’équation y = x sont données ci-dessous dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

4) Montrer que f est croissante et positive sur [0 ; + ∞[.

5) Montrer que la courbe (C) admet pour asymptote la droite (D).

6) Étudier la position de (C) par rapport à (D).

Soit I l’intégrale définie par :
I = [de 0 à 1] ln(1 + e-x) dx = [de 0 à 1] [f(x) – x] dx.

On ne cherchera pas à calculer I.

7) Donner une interprétation géométrique de I.

8) Montrer que pour tout réel t ≥ 0, on a ln (1 + t) ≤ t. (On pourra étudier les variations de la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(t) = ln(1 + t) – t.)
Dans la suite, on admettra que pour tout réel t ≥ 0, t/(t+1) ≤ ln (1 + t).

9) En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, on a :
e-x/(e-x + 1) ≤ ln(1 + e-x) ≤ e-x.

10) Montrer que ln(2/(1 + e-1)) ≤ I ≤ 1 – e-1.

11) En déduire un encadrement de I d’amplitude 0,4 par deux nombres décimaux.

Question “trace de recherche” :
On désigne par M et N les points de m^eme abscisse x appartenant respectivement à (C) et (D).
On juge que M et N sont indiscernables sur le graphique lorsque la distance MN est inférieure à 0,5 mm.
12) Déterminer l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles M et N sont indiscernables.

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Bon courage,
Sylvain

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