Primitives – Exponentielle, convexité, tangente, courbe – Terminale ES

mars 11th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Terminale ES

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Exercice N°476 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O ; i ; j) d’unité graphique 2 cm.
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 1] par
f(x) = xex.
On note F la primitive de f qui s’annule en x = 1.
On note C la courbe représentative de la fonction f.
Soit b une constante réelle et g la fonction définie sur [0 ; 1] par
g(x) = (x + b)ex.

exo476_a

On répondra par des considérations graphiques pour les quatre premières seulement.

1) Exprimer, en unités d’aires, l’aire du carré hachuré.

2) Expliquer pourquoi on a : 1/8[de 0 à 0.5] f(x) dx1/4.

3) Expliquer pourquoi F est croissante.

4) Expliquer pourquoi F est convexe.

5) Montrer que pour x ∈ [0 ; 1], on a :
g'(x) = (x + b + 1)ex.

6) Pour quelle valeur de b a-t-on g = f ?

7) Sans recalculer de dérivée, déduire de la question 5 que pour tout x ∈ [0 ; 1] :
f'(x) = (x + 1)ex,

Puis en calculant des dérivées :
f ‘ ‘(x) = (x + 2)ex,
et
F(x) = (x – 1)ex.

8) Vérifier par le calcul que la tangente T à la courbe C en O a pour équation :
y = x.

9) Étudier la convexité de f. En déduire la position relative de la droite T et de la courbe C.

10) Calculer [de 0 à 1] f(x) dx

11) Calculer l’aire grisée unités d’aires puis en centimètres carrés.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Primitives – Graphique, fonction, dérivées, aire – Terminale ES

3 commentaires

  • chardo dit :

    Bonjour, je ne vois pas comment dans la question 7 pour f”(x) on peut le démontrer sans calculer de dérivée. Pouvez vous m’aider ?

    • Sylvain Jeuland dit :

      Pour f'(x) pas besoin de recalculer la dérivée. Mais pour f’ ‘(x), il y a besoin et pour F(x) aussi car on n’a ni g’ ‘(x), ni G(x) en formule.
      J’affine la question du coup.

  • chardo dit :

    c’est ce que je me disais ! merci


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