Primitives – Exponentielle, suite, algorithme, limite – Terminale S

janvier 27th, 2016

Category: Algorithmique, Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Suites, Terminale S

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Exercice N°459 :

On considère la suite (In) définie pour n entier naturel non nul par :
In = [de 0 à 1] xnex2dx.

Soit g la fonction définie par g(x) =xex2.
1) Démontrer que la fonction G définie sur ℝ par
G(x) = 1/2ex2 est une primitive sur ℝ de la fonction g.

2) En déduire la valeur de I1.

On admet que, pour tout entier naturel n, supérieur ou égal à 1, on a :
In+2 = 1/2e – ((n+1)/2)*In.
3) Calculer I3 et I5.

On considère l’algorithme suivant :

exo459_a

4) Quel terme de la suite (In) obtient-on en sortie de cet algorithme ?

5) Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, In ≥ 0.

6) Montrer que la suite (In) est décroissante.

7) En déduire que la suite (In) est convergente. On note ℓ sa limite.

8) Question « Toute trace de recherche… » : Déterminer la valeur de ℓ.

Bon courage,
Sylvain

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