Primitives – Intégrales, exponentielle, suite, variation – Terminale S

janvier 5th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Suites, Terminale S

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Exercice N°424 :

On désigne par (In) la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par :

In = ∫[de 0 à 1] xne−xdx

1) Montrer que xe−x = e−x − (xe−x)′ pour tout x ∈ ℝ puis calculer I1.

2) Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes C1,C2, C3, C10, C20, C30 comprises dans la bande définie par 0 ≤ x ≤ 1.

Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite (In) en décrivant votre démarche.

Pouvez-vous aussi conjecturer la limite de (In) ?

3) Montrer que pour tout n supérieur ou égal à 1, on a (In) ≥ 0.

4) Montrer que (In) est décroissante et conclure quant à la convergence de (In).

5) Montrer que pour tout x ∈ [0 ; 1] on a :
xne−x ≤ xn.

6) En déduire un encadrement de (In) et déterminer
limn→+∞(In).

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Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Logarithme Népérien – Quotient, bénéfice, maximum – Terminale ES

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