Primitives – Intégrales, variation, inégalité, limite – Terminale S

janvier 6th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Fonctions, Terminale S

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Exercice N°429 :

On considère une fonction f dérivable sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[.
On donne le tableau de ses variations :

exo429_a

Soit g la fonction d´efinie sur ]−∞ ; +∞[ par

g(x) = [de 0 à x] f(t)dt

Partie A :

1) En tenant compte de toutes les informations contenues dans le tableau de variation, tracer une courbe (C) susceptible de représenter f dans le plan muni d’un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm sur l’axe des abscisses, 2 cm
sur l’axe des ordonnées).

2) Interpréter graphiquement g(2).

3) Montrer que 0 ≤ g(2) ≤ 2,5.

4) Soit x un réel supérieur à 2.
Montrer que
[de 2 à x] f(t)dt ≥ x − 2.
En déduire que
g(x) ≥ x − 2.

5) Déterminer la limite de la fonction g en +∞.

6) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle ]−∞ ; +∞[.

Partie B :
On admet que pour tout réel t, f(t) = (t − 1)e−t + 1.

Soit h(t) = (t − 1)e−t.
7) Déterminer une primitive H de h sous la forme H(t) = (at + b)e−t, où a et b sont deux réels à préciser.

8) En déduire que pour tout réel x, g(x) = x(1 − e−x).

9) Déterminer la limite de la fonction g en −∞.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Primitives – Inverse, polynôme, rationnelle, tangente – Terminale S

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