Primitives – Logarithme, TVI, suites, intégrale – Terminale S

janvier 27th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Fonctions, Limites, Suites, Terminale S

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Exercice N°458 :

On considère la fonction g définie sur [1 ; +∞[ par :
g(x) = ln(2x) + 1 − x.

Cette question demande le développement d’une certaine démarche comportant plusieurs étapes.
1) Démontrer que l’équation g(x) = 0 admet sur [1 ; +∞[ une unique solution notée α.
Donner un encadrement au centième de α.

2) Démontrer que ln(2α) + 1 = α.

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n,
un+1 = ln(2un) + 1.

On désigne par Γ la courbe d’équation y = ln(2x) + 1 dans un repère orthonormal (O; i, j). Cette courbe est donnée ci-dessous.

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3) En utilisant la courbe Γ, construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite.

4) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n, 1 ≤ un ≤ un+1 ≤ 3.

5) En déduire que la suite (un) converge vers une limite l ∈ [1 ; 3].

6) Démontrer que l = α.

On considère la fonction f définie sur [1 ; +∞[ par :
f(x) = (x − 1)e1−x.

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (O, i, j). Cette courbe est donnée plus haut.

Pour tout nombre réel x supérieur ou égal à 1, on pose :
F(x) = [de 1 à x] f(t)dt = [de 1 à x] (t − 1)e1−tdt.

7) Démontrer que la fonction F est dérivable et croissante sur [1 ; +∞[.

8) Montrer que la fonction x → −x × e1−x est une primitive de f sur [1 ; +∞[, en déduire que, pour tout réel x ∈ [1 ; ++∞[,
F(x) = −x × e1−x + 1.

9) Démontrer que sur [1 ; +∞[, l’équation
“F(x) = 1/2” est équivalente à l’équation “ln(2x) + 1 = x”.

Soit un réel a > 1. On considère la partie Da du plan limité par la
courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = a.

10) Déterminer a tel que l’aire, en unité d’aire, de Da soit égale à 1/2 et colorier Da sur le graphique pour cette valeur de a.

Bon courage,
Sylvain

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