Primitives – ROC, Limite, exponentielle, intégrale – Terminale S

janvier 27th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Limites, Terminale S

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Exercice N°457 :

L’objet de cette question est de démontrer que limx→+∞ex/x = +∞.

On suppose connus les résultats suivants :
* La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et est égale à sa fonction dérivée.
* e0 = 1.
* Pour tout réel x, on a ex > x.
Soit deux fonctions v et w définies sur l’intervalle [A ; +∞[, où A est un réel positif :
* Si pour tout x de [A ; +∞[, v(x) ≤ w(x) et si limx→+∞v(x)/x = +∞, alors limx→+∞u(x)/x = +∞.

Soit Φ la fonction définie sur [0 ; +∞[ par Φ(x) = exx2/2.

1) Montrer que pour tout x de [0 ; +∞[, Φ(x) ≥ 0.

2) En déduire que limx→+∞ex/x = +∞.

Soit f la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = ex/(x + 2).

3) Étudier la limite de la fonction f en +∞.

4) Étudier les variations de la fonction f, puis dresser son tableau de variations sur [0 ; +∞[.

Le but maintenant est de déterminer un encadrement de l’intégrale :
[de 0 à 1] f(x)dx.

5) Montrer que pour tout réel x de l’intervalle [0 ; 1], on a :
1/2 ≤ f(x) ≤e/3.

Soit a et b deux réels et G la fonction définie sur ℝ par
G(x) = (ax + b)ex.
6) Déterminer les valeurs de a et b pour que G′(x) = (2 − x)ex pour tout réel x.

Soit J l’intégrale définie par : J = [de 0 à 1] (2 – x)exdx.
7) Montrer que J = 2e − 3.

Soit K l’intégrale définie par : J = [de 0 à 1] x2f(x)dx.
8) Utiliser l’encadrement de f(x) obtenu précédemment pour démontrer que :
1/6 ≤ K ≤e/9.

9) Démontrer que J + K = 4I.

10) Déduire de tout ce qui précède un encadrement de I.

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Fluctuation – Binomiale, paramètres, seuil, intervalle – Terminale S

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