Primitives – ROC, logarithme, fractions, intégrale – Terminale S

janvier 29th, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Terminale S

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Exercice N°461 :

Restitution organisée de connaissances :

Soient u et v deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b. * Si pour tout x ∈ [a ; b] u(x) ≥ 0 alors [de a à b] u(x) dx ≥ 0.

* [de a à b] [u(x)+v(x)] dx = [de a à b] u(x) dx + [de a à b] v(x) dx.

* [de a à b] k*u(x) dx = k[de a à b] u(x) dx.

0) Démontrer que si f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a ; b] avec a < b et si pour tout x de [a ; b] , f(x) ≤ g(x) alors :

[de a à b] f(x) dx[de a à b] g(x) dx.

Soit g la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
g(x)= 1 + x2 − 2x2ln(x).

1) Étudier le sens de variation de la fonction g sur l’intervalle [1 ; +∞[.

2) Calculer g (e). Démontrer que l’équation g (x) = 0 admet une unique solution α sur l’intervalle [1 ; e].
Déterminer un encadrement de α d’amplitude 10−1.

3) Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
f(x) = ln(x)/(1+x2).
On note f’ la fonction dérivée de f.

4) Calculer f'(x) et montrer que pour tout x ≥ 1 on a :
f'(x) = g(x)/(x(1+x2)2).

5) Déduire des questions 1,2,3 le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [1 ; +∞[.

6) Démontrer que pour tout x appartenant à l’intervalle [1 ; +∞[ on a :
0 ≤ f(x) ≤ ln(x)/x2.

7) En déduire lim[x →∞]f(x).

8) Montrer que f(α)= 1/α2 et dresser le tableau de variation complet de f.

9) Montrer que la fonction F définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par
F(x) = (-1 – ln(x))/x
est une primitive de la fonction définie sur l’intervalle [1 ; +∞[ par ln(x)/x2.
En déduire que [de 1 à e] ln(x)/x2 dx = 1 – 2/e.

On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O, i,⃗ j) d’unité graphique 1 cm.
Soit A l’aire exprimée en cm2 du domaine compris entre la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équation x = 1 et x = e.
10) Déterminer un encadrement de A.

Bon courage,
Sylvain

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