Primitives – ROC, suite, exponentielle, égalités – Terminale S

février 1st, 2016

Category: Dérivées et Intégrales, Exponentielle et Logarithme, Suites, Terminale S

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Exercice N°463 :

Restitution organisée de connaissances :

On supposera connus les résultats suivants :
Pour tous réels x et y, e0> = 1 et ex × ey = ex+y.

1) Démontrer que pour tout réel x, on a :
e-x = 1/ex

2) Démontrer que pour tout réel x et pour tout entier naturel n, on a :

(ex)n = enx

On considère la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

un = [de 0 à 1] e-nx/(1 + e-x) dx

3) Montrer que u0 + u1 = 1.

4) Calculer u1. En déduire u0.

5) Montrer que pour tout entier naturel n,
un ≥ 0.

6) Montrer que pour tout entier naturel n non nul,
un+1 + un = (1 – e-n)/n.

7) En déduire que pour tout entier naturel n non nul,
un(1 – e-n)/n.

8) Déterminer la limite de la suite (un).

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Primitives – Fonction, limites, aires, intégrales – Terminale S

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