Probabilités – Conditionnelles, loi binomiale, espérance – Terminale ES

janvier 7th, 2014

Category: Probabilités, Lois, Fluctuations, Terminale ES

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Exercice N°369 :

Le parc informatique d’un lycée est composé d’ordinateurs dont :
• 15% sont considérés comme neufs ;
• 45% sont considérés comme récents ;
• les autres sont considérés comme anciens.
Une étude statistique indique que chaque jour :
• 5 % des ordinateurs neufs sont défaillants ;
• 10 % des ordinateurs récents sont défaillants ;
• 20 % des ordinateurs anciens sont défaillants.
On choisit au hasard un ordinateur de ce parc.
On note les événements suivants : N : ” L’ordinateur est neuf ” ;
R : ” L’ordinateur est récent ” ;
A : ” L’ordinateur est ancien ” ;
D : ” L’ordinateur est défaillant ” ;
¬D : l’événement contraire de D.
Pour tout l’exercice, on donnera les r´esultats arrondis aux millièmes si nécessaire.

1) En utilisant les données de l’énoncé (sans calculs), traduire les 6 données de l’énoncé avec les notations des événements données ci-dessus.

2) Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

3) Calculer la probabilité que l’ordinateur choisi soit neuf et défaillant.

4) Démontrer que la probabilité que l’ordinateur choisi soit défaillant est égale à 0,1325.

5) Déterminer la probabilité que l’ordinateur soit ancien sachant qu’il est défaillant.

On s’intéresse à 50 ordinateurs choisis au hasard dans le parc informatique.
On suppose que le nombre d’ordinateurs est suffisamment grand pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise.
Chaque ordinateur fonctionne de manière indépendante.
Chaque ordinateur qui tombe en panne est réparé le soir même et fonctionne donc normalement le lendemain.
On note X la variable aléatoire correspondant aux nombre d’ordinateurs défaillants chaque jour parmi les 50.

6) Déterminer la probabilité de l’événement B :« exactement 10% des 50 ordinateurs sont défaillants un jour donné ».

7) Déterminer la probabilité de l’événement C :« au moins un des 50 ordinateurs est défaillant un jour donné ».

8) Calculer l’espérance de la loi de probabilité de X.
Donner une interprétation du résultat dans le cadre de ce problème.

Bon courage,
Sylvain

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