Probabilités -Arbre, suite, récurrence, limite – Terminale S

septembre 11th, 2013

Category: Probabilités, Lois, Fluctuations, Suites, Terminale S

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Exercice N°182 :

Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives.
On admet que :
– la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ;
– s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ;
– s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6.

On note, pour tout entier naturel n non nul :
– Gn l’événement « le joueur gagne la n-ième partie » ;
– pn la probabilité de l’événement Gn.
On a donc p1 = 0,1.

1) Montrer que p2 = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré.

2) Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.

3) Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties.

4) Montrer que pour tout entier naturel n non nul, pn+1 = 1/5pn+3/5.

5) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, pn=3/413/4*(1/5)n.

6) Déterminer la limite de la suite pn quand n tend vers +∞.

7) Pour quelles valeurs de l’entier naturel n a-t-on : 3/4 − pn < 10−7 ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Probabilités – Arbre, loi binomiale, espérance – Terminale S

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3 commentaires

  • Alison Calimia dit :

    Bonsoir, je bloque aux questions 2 et 3
    Merci

  • Sylvain dit :

    Tout d’abord,
    je vais dessiner l’arbre de probabilité avec les données de l’exercice en vert.
    Comme la probabilité qu’il gagne la première partie, je mets 0,1 vers p(G1) et 1 – 0,1 = 0,9 vers p(G1-barre).

    S’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8. Du coup, c’est un SACHANT et on le mets après la condition du “sachant” (sur une branche de droite). Comme la condition est de gagner la première partie, on met le 0,8 à droite du p(G1) vers la probabilité de gagner la seconde partie soit p(G2 INTER G1) (on a gagné à la fois la 1ère et la 2ème partie).
    Et du coup, on met le 1 – 0,8 = 0,2 juste en dessous.

    rel=”nofollow”>Clique pour avoir l’arbre de probabilité

    On fait de même avec la probabilité de gagner la 2ème partie si on a perdu la première. On est encore dans un SACHANT mais cette fois “sachant” P(G1-barre) car on a perdu la première partie. On place donc le 0,6 après le P(G1-barre) vers la seconde victoire qui est P(G2 INTER G1-barre) car on a à la fois perdu la 1ère et gagné la seconde. En dessous, on fait 1 – 0,6 = 0,4.

    1) On veut maintenant calculer P(G2). On voit que le G2 apparaît dans G2 INTER G1 et G2 INTER G1-barre. Pour arriver à G2, on doit donc passer par G1 ou G1-barre.
    La rédaction est :
    G1 et G1-barre forment une partition de Oméga. D’après la Formule des Probabilités Totales,
    P(G2) = P(G2 INTER G1) + p(G2 INTER G1-barre)
    = P(G1)*P(G2 SACHANT G1) + p(G1-barre)*P(G2 SACHANT G1-barre)
    = 0,1 * 0,8 + 0,9 * 0,6 en lisant de gauche à droite (avec les “sachants” à droite).
    = 0,08 + 0,54 = 0,62.

    2) “Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première.”
    Cela veut dire qu’on SAIT qu’on est en G2. Et on veut G1-barre. Donc cela revient à calculer P(G1-barre SACHANT G2) avec la formule P(G1-barre INTER G2)/P(G2) soit (0,9 * 0,6)/0,62 = 0,871.

    On a donc P(G1-barre SACHANT G2) = 0,871.

    3) Pour gagner au moins une partie sur les trois premières, il faut arriver dans l’un de ces trois cas :
    – Gagner la 1ère (G1), peu importe les autres.
    – Perdre la 1ère et gagner la 2ème (G1-barre INTER G2), peu importe la dernière.
    – Perdre les deux premières et gagner la 3ème (G1-barre INTER G2-barre INTER G3).

    Cela revient à faire cet arbre :
    Clique pour avoir l’arbre de probabilité

    On calcule donc :
    P(gagner au moins une partie sur les trois) = 0,1 + 0,9*0,6 + 0,9*0,4*0,6 = 0,64 + 0,216 = 0,856.

    4) Pour démontrer cette formule à l’étape n+1 en fonction de l’étape n, il faut dessiner le passage de la partie n à la partie n+1 dans l’arbre de probabilité. Tout d’abord, représente les probabilités de gagner et perdre la partie n à gauche :
    Clique pour avoir l’arbre de probabilité

    Tu peux voir tout à droite que pour avoir P(Gn+1), tu as besoin des INTER Gn et INTER Gn-barre. Une fois de plus, on utilise la FPT comme ci-dessous :
    Gn et Gn-barre forment une partition de Oméga.
    D’après la Formule des Probabilités Totales,
    p(n+1) = P(Gn+1) = P(Gn+1 INTER Gn) + P(Gn+1 INTER Gn-barre)
    = pn*0,8 + (1-pn)*0,6 = 0,8pn + 0,6 – 0,6pn = 0,2pn + 0,6.
    0,2 = 1/5 et 0,6 = 3/5

    5) Voir commentaire suivant

    • Sylvain dit :

      5) Pour obtenir un raisonnement par récurrence, il faut utiliser au moins une donnée. Dans le 4) on a démontré que p(n+1) = 0,2p(n) + 0,6.
      Je dois prouver que p(n) = 3/4 − (13/4)*(1/5)^n.

      Je commence par l’initialisation avec n = 1 :
      D’une part, p(1) = 0,1.
      3/4 – (13/4)*(1/5)^1 = 3/4 – 13/20 = 15/20 – 13/20 = 2/20 = 0,1.
      On a bien p(1) = 3/4 – (13/4)*(1/5)^1.
      La propriété est vraie au rang n.

      Je dois maintenant faire l’hérédité. Pour cela, il faut SUPPOSER que la propriété est vraie au rang n, puis PROUVER qu’elle est vraie au rang n+1.
      La supposition devient donc une DONNEE au sein même de l’hérédité.
      On a donc comme données :
      p(n+1) = 0,2p(n) + 0,6 (donnée permanente)
      p(n) = 3/4 − (13/4)*(1/5)^n (donnée supposée)

      On doit arriver à p(n+1) = 3/4 − (13/4)*(1/5)^(n+1).

      Pour cela, on peut partir de p(n+1) = 0,2p(n) + 0,6,
      puis remplacer le p(n) par la donnée supposée 3/4 − (13/4)*(1/5)^n.
      p(n+1) = 0,2(3/4 − (13/4)*(1/5)^n) + 0,6
      = (1/5)*(3/4) – (1/5)(13/4)(1/5)^n + 0,6
      = 3/20 – (13/4)(1/5)^n*(1/5)^1 + 3/5
      = 3/20 + 12/20 – (13/4)(1/5)^(n+1)
      = 15/20 – (13/4)(1/5)^(n+1)
      = 3/4 – (13/4)(1/5)^(n+1)

      Donc la propriété est vraie au rang (n+1).

      6) On a prouvé que p(n) = 3/4 – (13/4)(1/5)^n, calculons la limite.
      Quand n tend vers +infini, lim (1/5)^n = 0 car 0 < 1/5 < 1.
      Par produit, quand n tend vers +infini, lim (13/4)*(1/5)^n = 0.
      Par différence, quand n tend vers +infini, lim p(n) = 3/4.

      7) 3/4 − p(n) < 10^(−7)
      < => 3/4 − (3/4 – (13/4)(1/5)^n) < 10^(−7)
      < => (13/4)(1/5)^n < 10^(−7)
      < => (1/5)^n < 10^(-7)*(4/13) en multipliant par 4/13 de chaque côté. On peut faire par tâtonnement ou alors :
      < => ln ((1/5)^n) < ln [10^(-7)*(4/13)]
      < => n*ln (1/5) < ln [10^(-7)*(4/13)] car ln(a^n) = n*ln(a).
      < => n > ln [10^(-7)*(4/13)] / ln(1/5) (changement de sens car ln(1/5) est négatif).

      Et voilà, il ne reste plus qu’à faire le calcul, j’espère que tout a bien été compris,
      Sylvain


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