Probabilités – Des candidats répondent aux questions – Première S

septembre 26th, 2012

Category: Première S, Probabilités, Lois, Fluctuations

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Exercice N°021 :

Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de cinq questions à choix multiples numérotées de 1 à 5.
Pour chacune d’elle, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte.

Partie A :
Un candidat répond à ce QCM, en cochant, au hasard et de façon indépendante, chacun des 5 questions.

On décide de donner au candidat un point par réponse exacte.

Soit X la variable aléatoire associant au réponse du candidat la note obtenue sur 5.

1) Justifier que X suit la loi binomiale et en préciser les paramètres.

2) Quelle est la probabilité qu’un candidat obtienne la note maximale ?

3) Établir la loi de probabilité de X en complétant le tableau ci-dessous en donnant les valeurs exactes, puis arrondies au millième :

4) Quelle est la probabilité qu’un candidat obtienne plus que la moyenne ?

5) Quelle note le candidat peut-il espérer obtenir (c’est à dire quelle note moyenne obtiendrait-il s’il remplissait au hasard un très grand nombre de QCM) ?

Partie B :
On suppose que n candidats (n entier non nul) répondent à ce QCM, et que tous le font au hasard, indépendamment des autres.

1) Exprimer en fonction de n la probabilité pn qu’au moins un candidat obtienne la note 5.

2) Pour quelles valeurs de n cet événement se produira-t-il avec une probabilité supérieure à 0,99 ?

Partie B :

Pour pénaliser les candidats qui ne comptent que sur le hasard, on décide de toujours accorder 1 point par réponse exacte, mais cette fois d’enlever 0,2 point par réponse inexacte.
Soit Y la nouvelle variable aléatoire associant aux réponses du candidats la note obtenue sur 5.

1) Prouver qu’avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s’exprime par Y = 2X – 1.

2) En déduire la probabilité qu’un candidat obtienne une note négative, une note au dessus de la moyenne.

3) Quel note le candidat peut-il espérer obtenir ? L’objectif vous parait-il atteint ?

Bon courage,
Sylvain

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Exercice précédent : Probabilités – Feux tricolores au carrefour – Première S

4 commentaires

  • LEANDRI dit :

    Je suis bloqué à partir de la partie B :(

    Merci si vous me venez en aide…

  • Sylvain dit :

    1) Pour chaque question, il y a 5 choix. Donc la probabilité de de succès (bonne réponse) est de 1/5 = 0,2. C’est une épreuve de Bernoulli.

    On répète 5 fois cette épreuve de Bernoulli de manière identique et indépendante. On obtient un schéma de Bernoulli de 5 épreuves.

    Soit X le nombre de succès (de bonnes réponses), X suit donc une loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 0,2.

    2) La formule pour calculer P(X = k), k étant le nombre de succès, est (n k) * p^k * (1 – p)^(n – k).
    (n k) est le coefficient binomial qu’on peut calculer avec la calculette.
    Obtenir la note maximale équivaut à obtenir 5 succès parmi 5 épreuves.
    Donc P(X = 5) = (5 5) * 0,2^5 * (1 – 0,2)^(5-5)
    = 1 * 0,2^5 * 0,8^0 = 0,2^5 *1 = 0,2^5.

    3) …

  • Aline dit :

    Peut on m’expliquer ces questions? Merci davance!
    1) Prouver qu’avec cette nouvelle règle, la variable aléatoire Y s’exprime par Y = 2X – 1.

    2) En déduire la probabilité qu’un candidat obtienne une note négative, une note au dessus de la moyenne.

    3) Quel note le candidat peut-il espérer obtenir ? L’objectif vous parait-il atteint ?

  • Smithe944 dit :

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