Probabilités – Tirages urnes et variables aléatoires – Première S

février 25th, 2013

Category: Première S, Probabilités, Lois, Fluctuations

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Exercice N°086 :

On dispose de deux urnes et d’un dé cubique bien équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6.
L’urne U1 contient trois boules rouges et une boule noire.
L’urne U2 contient trois boules rouges et deux boules noires.

Une partie se déroule de la façon suivante : le joueur lance le dé ; si le résultat est 1, il tire au hasard une boule dans l’urne U1, sinon il tire au hasard une boule dans l’urne U2. On considère les événements suivants :
A : « obtenir 1 en lançant le dé »
B : « obtenir une boule noire ».

1) a) Construire un arbre pondéré traduisant cette expérience aléatoire.
b) Montrer que la probabilité d’obtenir une boule noire est 3/8.

2) On convient qu’une partie est gagnée lorsque la boule obtenue est noire.
Une personne joue dix parties indépendantes en remettant, après chaque partie, la boule obtenue dans l’urne d’où elle provient.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de parties gagnées.

a) Calculer la probabilité de gagner exactement trois parties. On donnera le résultat arrondi au millième.
b) Calculer la probabilité de gagner au moins une partie. On donnera le résultat arrondi au millième.

3) Une personne joue maintenant n parties indépendantes, n étant un entier naturel non nul.

a) Montrer que la probabilité p de gagner au moins une partie est 1 − 0,625^n.
b) A l’aide de la calculatrice, déterminer la plus petite valeur n pour laquelle p > 0,999.
c) En déduire le nombre de fois qu’il faut jouer pour avoir plus de 99,9 % de chance de gagner.

Bon courage,
Sylvain

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