Probabilités – Variable, loi binomiale, espérance – Première ES

février 14th, 2014

Category: Première ES, Probabilités, Lois, Fluctuations

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Exercice N°390 :

Dans un grand établissement scolaire, 20% des élèves possèdent un smartphone.
On rencontre, au hasard, un groupe de 10 élèves.
On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre d’élèves qui possèdent un smartphone. (On arrondira les résultats au millième si nécessaire.)

1) Quelle est la loi de probabilité suivie par X ?

2) Déterminer la probabilité que les 10 élèves possèdent un smartphone.

3) Déterminer la probabilité que deux élèves exactement possèdent un smartphone.

4) Calculer p(X ≥ 3) et interpréter.

5) Sur dix élèves choisis au hasard, quel est le nombre moyen d’élèves possédant un portable ?

Remarque : le nombre d’élèves interrogés étant petit par rapport au nombre d’élèves de l’établissement, on peut assimiler la situation à 10 tirages avec remise dans l’ensemble des élèves.

Bon courage,
Sylvain

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Probabilités – Arbre, intersection, loi binomiale – Première ES

Recherches utilisées pour trouver cet articledans un grand etablissement scolaire 20 des eleves

2 commentaires

  • Amphoux dit :

    Bonjour est il possible d’avoir une correction de cet exo je voudrais vraiment le comprendre

    • Sylvain dit :

      1) Si on prend un seul élève et qu’on regarde s’il possède un smartphone, on obtient une épreuve de Bernoulli dont le succès est “avoir un smartphone” avec une probabilité 0.2 (20%).

      On répète 10 fois cette épreuve de manière indépendante et identique, on obtient donc un schéma de Bernoulli avec ces 10 épreuves.

      X est le nombre de succès. Donc X suit la loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,2.

      2) On utilise la formule P(X = k)= (n k) * p^k * (1-p)^(n-k) avec k = 10, k étant le nombre de succès et (n k) le coefficient binomial, il est mis à la verticale sur le papier. Cela donne (10 10) * 0,2^10 * 0,8^0. = 0,2^10 = 0,0000001024.

      3) On fait la même chose avec 2. P(X = 2) = (10 2) * 0,2^2 * 0,8^8 = 45 * 0,2^2 * 0,8^8 = 0,302.

      4) X >= 3 est l’événement contraire de X < = 2. Pour calculer P(X >= 3), on fait donc 1 – P(X <= 2) soit P(X = 0) + P(X = 1). La formule reste la même. 5) Le nombre moyenne de succès d'un schéma de Bernoulli est l'espérance E(X) = n * p soit ici, 10 * 0,2 = 2. As-tu tout saisi ? Sylvain


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